В этом предложении сочетание на самом деле обозначает «в действительности, фактически» и не обособляется (см. «Справочник по пунктуации»). Обстоятельство из-за своей невнимательности может быть обособлено, если автор считает его попутным замечанием и не делает на нем акцент (см. параграф 74 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина). Таким образом, возможно два варианта постановки знаков препинания в этом предложении:

• На самом деле он, из-за своей невнимательности, ошибся (логическое ударение на ошибся);
• На самом деле он из-за своей невнимательности ошибся (логическое ударение на из-за своей невнимательности).

Такой оборот вполне корректен: Вы, Николай Аполлонович, с своею инвалидною бородой были бы здесь невозможны: вам, как только бы вы вышли на улицу, непременно подадут милостыню [И. А. Гончаров. Фрегат «Паллада» (1855)]; Простого, понятного, русского языка Бальмонт боится, и совершенно резонно, ибо, как только бы он заговорил просто, сейчас же обнаружилось бы его убожество [К. Д. Бальмонт. Полное собрание стихов (16.04.1913) // «Московские ведомости», 1913] и т. п. Однако нужно заметить, что в нем имеется некоторая инверсия: частица бы более уместна после глагола, к которому относится (как только вы вышли бы, как только он заговорил бы). 

В приведенном примере оборот с сочетанием но не более чем вводит присоединительную конструкцию, которая имеет «характер сведений добавочных, сообщаемых попутно, в дополнение к содержанию основного высказывания» (параграф 84 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина). Такие конструкции обособляются: Срок освоения субсидии может быть продлен по решению Министерства, но не более чем на 6 месяцев, в порядке, установленном Министерством.

Добавим, что в данном случае неприменимо правило об однородных членах предложения, поскольку здесь сочинительный союз но соединяет сказуемое (может быть продлен) и обстоятельство (не более чем на 6 месяцев).

В этих предложениях обстоятельство цели, выраженное сочетанием существительных с первообразным (непроизводным) предлогом для. В справочниках по русской пунктуации, в частности в параграфе 74 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина, указано, что подобного рода обстоятельства факультативно «обособляются для попутного пояснения или смыслового выделения». Находясь, однако, в начальной позиции в предложении, они не могут ничего пояснять, тем более «попутно»; фона, на котором они могли бы быть выделены, также нет. Следовательно, обособлять обстоятельство в нашем случае нет оснований. Показательно, что в цитируемом параграфе приведены только такие примеры, в которых обстоятельство находится в срединной позиции в предложении.

Большой толковый словарь русских существительных

СЛЁТ, -а, м. Мероприятие, представляющее собой съезд, собрание членов какой-л. массовой организации, представителей одной профессии, производственных коллективов, прибывших из разных мест. Студенческий слет.

Насколько мы можем судить, в этом значении существительное слёт употреблялось уже в начале ХХ века: Вчера на вечере устроенном пражским славянским клубом по случаю слета «Соколов», от имени русских гостей говорил генерал Риттих [без названия (03.07.1901) // «Россия», 1901]; Для достижения этой смутной цели кружковцы занимаются всякой символической чепухой, которая должна питать музыкальное и зрительное настроение кружка. Собрания их носят название «слетов»[«Гениальные ребята» (18.04.1909) // «Русское слово», 1909]. 

Подобный случай в доступных нам справочных изданиях не рассматривается. В «Справочнике издателя и автора» А. Э. Мильчина, Л. К. Чельцовой приведен пример, когда область серии дается в конце записи, после указания общего количества страниц:

Социология и психология чтения. М.: Книга, 1979. 231 с. (Тр. / Гос. б-ка СССР им. В. И. Ленина; т. 15).

На наш взгляд, если в библиографической ссылке приводится не общее количество страниц, а делается указание на конкретную страницу, область серии (если она и вправду нужна) тоже логично размещать в конце записи, не разбивать выходные данные (место, год издания) и указание на страницу. Другими словами, корректен такой вариант:

Социология и психология чтения. М.: Книга, 1979. С. 44. (Тр. / Гос. б-ка СССР им. В. И. Ленина; т. 15).

Причастный оборот содержащейся в их заявочных документах на участие в Конкурсе совершенно точно нужно закрыть запятой. Что касается обстоятельства в случае необходимости, то его обсобление факультативно. В параграфе 74 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина​​​​​​​ говрится, что такие обстоятельства «обособляются для попутного пояснения или смыслового выделения​​​​​​​». При этом в качестве иллюстрации приводятся примеры из художественной литературы, тогда как в Вашем случае представлен официально-деловой текст. Представляется, что здесь подобные смысловые оттенки излишни и обособление обстоятельства не требуется: Участники несут ответственность за достоверность информации, содержащейся в их заявочных документах на участие в Конкурсе, и в случае необходимости обязаны предоставить подтверждающие документы по требованию Оргкомитета.

Знаки перед и стоят (или не стоят) правильно. Однако в шестом и седьмом предложениях возможны варианты пунктуации.

В шестом предложении вводное сочетание как нам рассказывали может относиться или к обеим частям, соединенным союзом и, или только к первой. В первом случае запятая не нужна, во втором – нужна.

В седьмом предложении похожая ситуация. Вполне можно сказать, что и падение на раскладушку, и ее поломка произошли из-за безудержного хохота. Т. е. обе придаточные части можно рассматривать как однородные. Такой трактовке соответствует Ваш вариант пунктуации. Но по смыслу придаточные части все же неравноправны: они находятся в отношениях причины и следствия. Поэтому запятая между ними тоже возможна.   

Оборот стоит в середине предложения, запятая нужна.

Мы можем предоставить только справочную информацию по этой тематике. Так, употребление буквы Ё регламентируется правилами правописания (изложенными в Полном академическом справочнике) и орфографическим словарем.

Какой из заданных вопросов требует  ответа в рамках "Справочного бюро"?