Все мужские фамилии, имеющие основы на согласные и нулевое окончание в именительном падеже (на письме они кончаются согласной буквой, ь или й), кроме фамилий на -ых, -их, склоняются как существительные второго склонения мужского рода, т. е. имеют в творительном падеже окончание -ом (-ем): Липпоненом, Халоненом, Герценом, Левитаном, Гоголем, Врубелем, Хемингуэем, Гайдаем. Такие фамилии воспринимаются как «нерусские».

Соотносительные женские фамилии не склоняются: Наталии Александровны Герцен, Любови Дмитриевне Блок, с Анной Липпонен.

Нерусские фамилии, относящиеся к двум или нескольким лицам, в одних случаях ставятся в форме множественного числа, в других — в форме единственного:

1) если при фамилии имеются два мужских имени, то она ставится в форме множественного числа, например: Генрих и Томас Манны, Август и Жан Пикары, Адольф и Михаил Готлибы; также отец и сын Ойстрахи;

2) при двух женских именах фамилия ставится в форме единственного числа, например: Ирина и Тамара Пресс;

3) если фамилия сопровождается мужским и женским именами, то она сохраняет форму единственного числа, например: Франклин и Элеонора Рузвельт, Рональд и Нэнси Рейган, Ариадна и Петр Тур, Нина и Станислав Жук;

4) в единственном числе ставится также фамилия, если она сопровождается двумя нарицательными существительными, указывающими на разный пол, например: господин и госпожа Клинтон, лорд и леди Гамильтон; однако при сочетаниях муж и жена, брат и сестра фамилия чаще употребляется в форме множественного числа: муж и жена Эстремы, брат и сестра Ниринги;

5) при слове супруги фамилия ставится в форме единственного числа, например: супруги Кент, супруги Мейджор;

6) при слове братья фамилия тоже обычно ставится в форме единственного числа, например: братья Гримм, братья Шпигель, братья Шелленберг, братья Покрасс; то же при слове сёстры: сёстры Кох;

7) при слове семья фамилия обычно ставится в форме единственного числа, например: семья Оппенгейм.

Прилагательные с суффиксом -ск- со значением ‘относящийся к тому или свойственный тому, что названо производящим словом’, характеризующие те или иные территориальные объекты, образуются от названий континентов, стран, населенных пунктов и других понятий, связанных с жизнью и деятельностью людей, например: австралийский, узбекский, московский и т. п.

Ср.: горы → горный (относящийся к горам как природному, географическому явлению) и горы → горский (относящийся к горам как к месту обитания человека).

Названия сторон света — это нарицательные существительные, обозначающие географические понятия, поэтому от них образуются прилагательные с суффиксом -н-: север → северный, юг → южный, запад → западный, восток → восточный. Прилагательные с суффиксом -ск- не образуются.

Существительные с суффиксом -анин-/-янин- (во множественном числе -ан-/-ян-) имеют значение ‘житель или уроженец местности, названной производящим словом’, например: россиянин (россияне), волжанин (волжане), парижанин (парижане), селянин (селяне), марсианин (марсиане) и т. п.

Понятия север и юг связаны с Северным и Южным полюсами Земли, а восток и запад — с вращением Земли вокруг своей оси и видимым движением небесных светил. Соответственно, в первичном нарицательном значении север и юг связаны с определенной территорией, а восток и запад — нет. Поэтому в литературном языке есть словообразовательные пары север → северянин (северяне) и юг → южанин (южане), а наименования жителей, образованные от слов восток и запад, отсутствуют. Использование слов Восток и Запад как имен собственных, обозначающих страны и территории, расположенные в восточном и западном направлении, и их страноведческие особенности, возникло сравнительно недавно и не изменило словообразовательную модель.

Существительные западник и восточник, образованные от имен собственных Запад и Восток, в русском языке есть, но они не связаны с наименованием жителей. Западнический — относительное прилагательное, образованное от существительного западник.

Существительное западник (← Запад) — сторонник общественного течения, возникшего в 40–50-е гг. XIX в., представители которого выступали за европейский путь развития России. Современные западники выступают за сближение России с Западом и перестройку российской экономики по западному образцу.

Существительное восточник (← Восток) — специалист, изучающий историю, языки, литературу, культуру, религию, философию, экономику и политику стран Востока.

Слова *востокцы и *востокцкий в русском языке отсутствуют.

Корректно единообразное написание с большой буквы, в кавычках.

На наш взгляд, слово исходного здесь лишнее, а каучук следует склонять: Высокая эластичность материала (каучука) не даст шине лопнуть даже при давлении в…

Ударение в названии жителей вовсе не обязательно должно падать на тот же слог, что и в названии города, ср.: Ста́врополь, но ставропо́льцы. Но в названии ша́хтинцы литературная норма действительно требует ударения на первом слоге.

Ситуации, когда произношение названия города или жителей города, принятое в речи самих жителей, отличается от варианта, закрепившегося в общелитературном языке, не редкость. В каком-то смысле это вариант «для своих», то есть вариант ударения, отличающийся от принятого в литературном языке, в данном случае функционально близок к профессиональному или социальному жаргону: он помогает отличить «своих» от «чужих», показывает принадлежность к замкнутой группе лиц. Так что никто не может запретить шахтинцам называть себя шахти́нцы, но при этом в официальном употреблении и в речи носителей языка, не знакомых с принятой в городе нормой произношения, продолжит употребляться вариант ша́хтинцы.

Стилистически нейтрально: о чем-то. Предлог про возможен, но он вносит разговорный оттенок (то есть поговорим про погоду возможно в непринужденной устной речи).