В «Справочнике по фразеологии» эта версия приведена как наиболее распространенная. О том, как она появилась, почему она уязвима и какую версию ей следует предпочесть, подробно рассказано в статье известного современного специалиста по истории фразеологии Валерия Михайловича Мокиенко (в ответе мы давали ссылку на нее). Автор здесь доказывает, что в этом выражении используется слово нос ‘часть лица’, но оно переносно означает своеобразную бирку, на которую для памяти наносятся зарубки (такие бирки действительно были широко распространены). Само выражение зарубить на носу В. М. Мокиенко называет типичной фразеологической метафорой.

В этом случае часть я понимала относится к обеим придаточным, связанным союзом и, так что запятая перед ним не ставится: ...я понимала, что это большая ответственность и мне не хватает необходимых знаний.

Даже если окончание срока давности является причиной того, что дело закрыто, при таком строе предложения возможен лишь один вариант: по истечении срока давности. 

Поскольку сочетание аж до костей пробирает связано со сказуемым холодный отношениями следствия, в предложении нужно поставить тире: Воздух свежий, словно его только что постирали, и холодный — аж до костей пробирает. 

Слово допустим действительно выступает здесь в качестве вводного, и его действительно невозможно убрать из предложения без потери смысла. Что касается частицы ну, то она может использоваться в разговорной речи во множестве функций, что демонстрирует словарная статья слова ну. Возможно, с помощью этого начального ну автор изображает речевые колебания, свойственные разговорному общению, ведь, судя по всему, он пытается быть на одной волне с читателем. Утверждать, что в приведенном тексте допущена ошибка, было бы слишком категорично. 

Процитируем "Русскую грамматику":

§ 3147. Сложносочиненные предложения, формируемые однозначными союзами дифференцирующего типа, а также многочисленными аналогами сочинительных союзов, выражают разные виды несобственно соединительных отношений.

Это предложения со значением пояснительным, противопоставления, факультативно-комментирующим, причинно-следственным и градационным. За исключением союзов то есть, а именно, а то и, связующие слова и сочетания в таких предложениях не являются союзами в собственном смысле слова: союзная функция в них производна от оценочно-квалифицирующих лексических значений соответствующих наречий, частиц, вводных слов и сочетаний.

Это такие аналоги союзов, как зато, однако, только, наконец, напротив, наоборот, вернее, точнее, скорее, все же, все-таки, тем не менее, между тем, поэтому, следовательно, значит, собственно, кстати, кстати говоря, таким образом, тем самым, иначе, иными словами, вместе с тем, более того, кроме того, сверх того, к тому же, прежде всего, во всяком случае, по крайней мере, не только, мало того, не то чтобы, не то что.

Многие из этих аналогов широко употребительны в качестве конкретизаторов при союзах недифференцирующего типа. Отличие аналога союза от собственно союза заключается в том, что в составе соединений типа и всё-таки, и однако, и тем не менее, а следовательно, а поэтому, но зато, но только, или вернее собственно союз занимает позицию конкретизируемого компонента (как правило, первую, открывающую), тогда как аналог союза выполняет конкретизирующую функцию и следует за союзом.

Действительно, Вы правы, невозможно сказать *избирать подарок или *избирать между городом и деревней, подобным же образом в современном русском языке только глагол выбирать употребляется в сочетаниях выбирать обувь, выбрать место съёмки, выбирать реквизит, выбрать имя ребёнка, выбирать нам не из чего, выбирай что хочешь, выбирать между чувством и долгом, из двух девушек выбрал блондинку, менеджер выбирает персонал и др. Вместе с тем многие сочетания с этими глаголами как будто бы  совпадают и вполне взаимозаменяемы в речи: выбрали/избрали метод опроса, выбрать/избрать политику, выбрать/избрать направление исследования, также можно выбрать или избрать вариант, объект, специальность, позицию, сценарий и т. п.
Такая взаимозаменяемость некоторых словосочетаний как будто бы даёт основание считать эти глаголы синонимичными. В действительности это не вполне так, их семантика существенно различается. Выбрать означает «выделив из ряда однотипных, отдать предпочтение кому-, чему-л.», в то время как глаголу избрать
свойственно значение «выделив из ряда однотипных, признать единственно возможным, не подлежащим сомнению или пересмотру». Поэтому синонимичность глаголов, якобы обусловленная взаимозаменяемостью этих пар сочетаний, оказывается ложной, их различия всегда обусловлены контекстом. Если я выбрал метод лечения, это значит, что предпочёл его другим, считаю его лучшим, но это не исключает возможности выбора другого метода. А если я избрал метод, то уже не сомневаюсь в его правильности и признаю его единственно возможным для себя. 
Что касается вопроса относительно соотношения рассматриваемых глаголов в значении «посредством голосования определить кого-л. куда-л., назначить кем-л.», то в этом значении они действительно  обнаруживают семантическую близость, но различаются стилистически – глагол избрать имеет официальный характер.

Первая часть этого бессоюзного сложного предложения представляет собой синтаксический фразеологизм (нечленимое предложение), часто оформляющийся в отдельное высказывание, как можно сделать и в данном случае, сравним: Что поделать! Никто не научил меня этому!.. Будучи включенными в бессоюзное сложное предложение, синтаксические фразеологизмы обычно отделяются запятой: Что поделать, никто не научил меня этому.

Запятая нужна: придаточное предложение что стал жертвой обмана выделяется запятыми с обеих сторон. Если вторую запятую не поставить, получится странный смысл — будто бы он осознал две вещи: 1) что стал жертвой обмана и 2) что он написал заявление в полицию.

Нужна запятая: Хочу пожаловаться на то, что мой документ переведен не полностью, и узнать причину этого.