В Вашем примере эти слова выступают в роли обстоятельства образа действия.

Действующие правила правописания (принятые в 1956 году) не допускают использование апострофа вместо твердого знака. До 1956 года такая замена была вполне возможна.

Горло – многозначное слово (словари отмечают 4 значения, два из них связаны с человеческим телом). Да, второе значение слова горло – 'общее название зева, глотки и гортани' (т. е. то, что «внутри шеи»): простудить горло, прополоскать горло, в горле пересохло.  Но первое значение этого существительного – именно 'передняя часть шеи': быть по горло в воде, укутать шарфом горло. Сочетание потрогал его горло корректно.

Эти слова произносятся с мягким согласным перед Е.

Пунктуационно верно: Настоящий Договор вступает в силу с момента его подписания обеими сторонами, и действует до окончания календарного года, и автоматически продлевается на каждый последующий год.

Названия, написанные латиницей, кавычками, как правило, не выделяются.

Нужно поставить тире. См. правило (п. 5).

Знаки препинания стоят правильно.

Правило таково: «К уточняющим обстоятельствам относятся названия районов, областей и т. д., обозначающие местонахождение поселков, деревень и т. д., а также указания в адресах: В деревне Уваровке, Петровского района, Калужской области, состоялся праздник урожая; Посёлок Новые Горки, Щёлковского района, Московской области, находится недалеко от станции Болшево; Москва, улица Плющиха, д. 38, кв. 2. Но: Школа № 4 Талдомского района Московской области — необособленное несогласованное определение» («Справочник по русскому языку. Пунктуация» Д. Э. Розенталя, параграф 22.1). Таким образом, первое предложение корректно оформить так: Лужичане – это небольшое славянское сообщество, которое живёт на юге Берлина в Шпревальде, в Бранденбурге. Что касается второго предложения, то нужно повторить предлог из в уточняющем обороте, а название страны, грамматически не связанное с остальным предложением (находящееся в начальной форме) заключить в скобки: Она из Красноярского края, из посёлка Таёжный (Россия).

Не нужно обособлять обстоятельство уже с первых страниц романа и лучше использовать кавычки-елочки. Обратите внимание: слово петербургский нужно написать со строчной буквы, это слово не образует официальное название университета. Также важно, что с первых страниц романа мы знакомимся с героем, уже оставившим университет.