Морфемный анализ: о-сторож-н-ый → о-сторож-н-о (в прилагательном и наречии корень сторож-, как и в существительном сторож), см. «Словарь морфем русского языка» А. И. Кузнецовой и Т. Е. Ефремовой.

При словообразовательном анализе (синхроническом) слова сторож (основа совпадает с корнем) и осторожн-ый (→ осторожн-о) рассматриваются как непроизводные, утратившие смысловые связи друг с другом. Поэтому в словах осторожный и осторожно выделяется корень осторож-. См. «Словообразовательный словарь русского языка» А. Н. Тихонова.

Постараемся ответить подробнее. Варианты завкафедрой, замдекана, завбиблиотекой орфографически правильны. Первые части сложных слов зав..., зам... пишутся слитно. Однако такие формы более характерны для устной речи и не всегда могут быть уместны на письме (например, вряд ли возможно в подписи к официальному документу: завбиблиотекой). Полные же варианты заведующий библиотекой, заместитель декана являются стилистически нейтральными и применяются как в устной, так и в письменной речи. От них и образуются сокращения зав. библиотекой, зам. декана, являющиеся нормативными и общеупотребительными.

Устойчиво сочетание лебяжий пух. См. словарные определения:

ЛЕБЕДИНЫЙ

1. Соотносящийся по значению с существительным лебедь, связанный с ним; свойственный лебедю, характерный для него; принадлежащий лебедю; состоящий из лебедей.

2. (перен.) Напоминающий чем-либо лебедя; такой, как у лебедя; белоснежный, пышный, плавный, изящно-величавый (о груди, шее; книжн., поэт.).

ЛЕБЯЖИЙ 

1. Соотносящийся по значению с существительным лебедь; связанный с ним; свойственный лебедю, характерный для него; принадлежащий лебедю.

2. Сделанный из пуха, наполненный пухом лебедя.

3. (народ..-поэт.) = лебединый (во 2 значении).

Здесь трудно говорить о правильности, потому что это понятие применяется к литературному языку, а глагол сёрбать в литературный язык не входит. Однако можно с уверенностью сказать, что исторически первичным и наиболее распространенным является вариант сёрбать (или серба́ть). Именно он приводится в диалектных и этимологических словарях. Соответствия в других славянских языках и свидетельства древних памятников письменности также говорят в пользу первичности варианта со звуком б, ср. ст.-сл. сръбание ‘похлебка’, др.-рус. серебати ‘хлебать’.

Большой толковый словарь

Назвать подобную конструкцию новообразованием вряд ли возможно, она употреблялась и раньше. Примеры из художественной литературы подтверждают это: «Вы что, оглохли, онемели?» –  «Нет, – сказал Костя, – со мной все в порядке». Л. Карелин, Головокружение (1971). «Да... добрый вечер, – женщина приветливо улыбнулась, но, увидев ребячьи лица, обернувшиеся к ней, испугалась чего-то. – С ним... все в порядке? Где он, Леня?» Г. Полонский, Н. Долинина, Перевод с английского (1972). Но Вы правы в том, что употребительность этой конструкции в последнее время возросла. Однако ошибочной она не является.

Интересный вопрос. Согласно толковым словарям русского языка, слово стая означает 'группа животных одного вида, держащихся вместе'. Таким образом, словарное толкование допускает возможность сочетания стая кур (хотя и возникает вопрос, можно ли говорить, что куры «держатся вместе», ведь их совместное проживание в курятнике вызвано не желанием самих кур, а волей человека). Теоретически возможно и сочетание стадо кур (стадо – группа животных одного вида, а также пасущийся вместе скот).  Однако в живой речи сочетания стая кур, стадо кур вряд ли употребимы, достаточно – просто: куры.

Да, слово гибель употребляется и в сочетании с неодушевленными существительными, например: гибель корабля, гибель самолета, гибель армии, гибель города, гибель растений (такие сочетания зафиксированы в толковых словарях русского языка). Но, как видно из этих примеров, неодушевленные существительные, с которыми может употребляться слово гибель, как правило, обозначают что-то, связанное с большим количеством людей, скоплением людей (либо вообще что-то живое: гибель растений). Вряд ли возможно употребление слова гибель в прямом значении с существительными, которые обозначают понятия, совершенно не связанные с представлением о живом.

В этом предложении слово объятиям входит одновременно в два сочинительных ряда: объятиям или другому физическому контакту и объятиям и словам поддержки; при этом сочетания другому физическому контакту и словам поддержки едва ли образуют между собой сочинительный ряд (вряд ли имеется в виду выбор между объятиями, с одной стороны, и «другим физическим контактом» плюс словами — с другой). В этом случае средний элемент перечисления можно оформить как вставку: Объятиям — или другому физическому контакту — и словам поддержки буду рад.

По правилам наречие «препятствует» постановке тире. В справочнике под ред. В. В. Лопатина указывается, что не ставится тире, если между подлежащим и сказуемым-существительным стоит обстоятельство. Наречия в предложении часто являются именно обстоятельствами.

Чтобы ответить на Ваш второй вопрос нужно проводить исследование — нужно понять, какие именно обстоятельства и дополнения встречаются в предложениях данной структуры, в каких случаях тире оправданно, в каких нет. Это требует времени. Пока мы можем ориентироваться только на примеры из справочников: Мой отец для меня друг и наставник; Степан нам сосед.