Выражение на голубом глазу -- усечённая форма фразеологизма врать на голубом глазу - врать не краснея. В основе этого выражения, вероятно, лежит представление о "ясности" взгляда, честности говорящего.

Корректно: российское Черноморье. Слово Черноморье пишется с прописной по правилу: с прописной буквы пишутся однословные производные (суффиксальные и приставочно-суффиксальные), преимущественно неофициальные, названия территорий, областей, местностей. Прилагательное российское не является частью наименования, поэтому пишется со строчной.

Слово огрех, и чаще всего в форме множественного числа, давно «прописалось» в публицистических и научно-технических текстах. По-видимому, оценка уместности этого слова во многом зависит от того, выдерживает ли оно стилистическую конкуренцию с синонимами.

Разница в семантике глаголов. Пойти = начать идти. Пообедать = закончить обедать. Таким образом, можно образовать побудительные предложения с глаголами в форме мн.ч. прошедшего времени, если эти глаголы обозначают начало какого-то совместного действия (Поехали! Начали! Приступили!). Но при этом в ед. ч. возможны и конструкции с другим - приказным - значением: Встал и вышел из класса! Быстро пообедал и вернулся!

Есть словарная фиксация в последнем издании «Русского орфографического словаря»:

фейр-плей, нескл., ж. (спорт.)

Это сочетание употребляется не только в буквальном смысле «честная игра», но и в более широком значении, которое можно передать приблизительно так: соблюдение спортивных принципов; поведение, основанное на честности и открытости.

Повторение вопросительного и восклицательного знаков используется как выразительное средство, сравним пример из монолога Чацкого в произведении А. С. Грибоедова «Горе от ума»: И прослывет у них мечтателем! опасным!! При повторении знаков, как и при использовании всех других выразительных средств, нужно руководствоваться принципом уместности.

Вопрос шрифтового выделения слов и фраз в тексте не регламентируется справочниками по правописанию. В этом вопросе автор должен руководствоваться принципом уместности, например подумать о том, не затрудняет ли восприятие текста частое использование прописных букв. Возможно, для отражения эмоций персонажа будет достаточно некоторых экспрессивных слов и знаков препинания?

При цитировании указать источник нужно в любом случае. Использование слов того или иного автора, выступающего и т. д. в качестве эпиграфа к статье определяется соображениями уместности; это решает автор статьи. Эпиграфы обычно пишут без кавычек, а ссылку на источник дают без скобок:

Нам потребуются квалифицированные кадры, инженеры, рабочие, готовые выполнять задачи нового уровня.
В. В. Путин

Оба варианта корректны, однако первый оборот чаще употребляется с местоимением сам/самый: Вначале их забавлял самый принцип кинематографии, их смешил самый факт того, что живые люди движутся на полотне [Е. Петров. Остров мира. Комедия в 4 актах (1947)]; — Кирилл, — в голосе Романа Артуровича мелькнула усталость, — но разве сам факт того, что мы признаём прослушивание, не является свидетельством нашей честности перед партнёрами? [Алексей Иванов (Алексей Маврин). Псоглавцы. Гл. 21-39 (2011)]. 

Правильно: к Татьянину дню (о празднике 25 января), но к Татьяниному дню рождения.

Притяжательные прилагательные на -ин, -нин в современном русском языке склоняются по так называемому местоименному склонению (его первой разновидности), т. е. как местоимение мой: моего – Татьяниного, моему – Татьяниному и т. д. Однако за прилагательными, входящими в состав географических названий, наименований местностей, названий растений и цветов, а также за прилагательными, входящими в состав устойчивых сочетаний, закрепилось притяжательное склонение. В форме род. падежа оно имеет окончание -а (отцова сапога, тришкина кафтана, Татьянина дня) и в дат. падеже – окончание -у (отцову сапогу, тришкину кафтану, Татьянину дню).