Ректор и академик – неоднородные приложения, запятой они не разделяются.
Фамилия склоняется: клиентом Ивановым.
Да, можно. Уместность такого сокращения зависит от ситуации и контекста.
Нужно смотреть по контексту, но чаще пишется без запятой: Директор Иванов Иван Иванович.
Между неоднородными приложениями запятая не ставится.
Предпочтительна другая последовательность неоднородных приложений при имени: Герой Советского Союза летчик Иванов.
Официально-деловой стиль требует в таких случаях мужского рода: Перевод выполнил переводчик Иванова Мария Ивановна / выполнила Иванова Мария Ивановна. Или: Перевод выполнен (переводчиком) Ивановой Марией Ивановной.
Тире поставить желательно для прояснения смысла предложения; без тире в предложении возникает словосочетание государственный обвинитель прокурора.