Указанная запятая нужна.

Запятая нужна. Слова прошу прощения в данном случае являются вводными и выделяются запятыми с двух сторон.

Пробел нужен. См. ответ на вопрос № 257012.

Существительное обсчет может обозначать действие по глаголам обсчитать и обсчитаться. В свою очередь, у глагола обсчитать есть два значения: 1. Умышленно неверно сосчитав, недодать. 2. (Спец.) Произвести подсчет чего-л., просчитать что-л.

В данном случае подходит второе значение. На это указывает и сочетаемость слова: оно используется с дополнением заказа. Если бы речь шла о неверном подсчете, такого сочетания не могло быть (автор написал бы: обсчет покупателя или что-то подобное).

Таким образом, быстрый обсчет заказа — это профессионализм, означающий быструю обработку (расчет) заказа.

Сочетание всю часть ответственности некорректно, предложение следует перестроить. Поэтому рекомендации о запятой дать не можем.

Прилагательное от Доха – дохинский.

Возможно выделение приложения автор «Дубровского» парными тире или запятыми: Александр Сергеевич Пушкин — автор «Дубровского» — написал и много других, менее известных романов; Александр Сергеевич Пушкин, автор «Дубровского», написал и много других, менее известных романов. См. параграф 61 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.

Такое употребление допустимо. Ср., например, у В. Я. Брюсова:

Иван-да-марья,
Цветок двойной,
Тебя, как встарь, я
Топчу ногой.

Наречие фактически не требует постановки знаков препинания. Поскольку в предложении оно находится между однородными подлежащими Миша и Вова с одной стороны и сказуемым братья с другой, тире в предложении не ставится (см. пункт 7 параграфа 15 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина): Миша и Вова фактически братья, так как с раннего детства росли вместе. 

Мужские и женские фамилии славянского происхождения на -а ударное склоняются: Александра Подопригоры, Александру Подопригоре и т. п.