В строгой деловой речи принято формальное согласование, по мужскому роду, так как в официальной документации на первое место выдвигается информация о должности (безотносительно к полу лица): Общество, в лице заместителя директора Ивановой Елены, действующего на основании Устава. 

Обладателей медали (увы, слово медалист «занято» выпускниками средней школы и спортсменами) иногда называют кавалерами медали. Однако следует иметь в виду, что толковые словари русского языка указывают только на орден как тип награды, какая вручается кавалеру. 

Корректно: хоккеисты держат в руках клюшки, хоккеисты скользят по льду (если речь идет о том, что они легко двигаются, катясь по ледовой поверхности) и хоккеисты скользят на льду (если имеется в виду, что они двигаются неуверенно, неустойчиво).

Если овальные разрастания — другое название узелковых разрастаний, то корректна пунктуация: В области нервных волокон обнаруживаются узелковые, или овальные, разрастания. Если имеется в виду только то, что узелковые разрастания имеют овальную форму, то лучше написать: ...обнаруживаются овальные узелковые разрастания.

Как правило, если обе части сложного слова склоняются, то род определяется по последней части слова (которая одновременно является главной по смыслу). В данном случае корректно согласование слова трос-рулетка по женскому роду (рулетка в виде троса, но не наоборот).

В строгой деловой речи принято формальное согласование, по мужскому роду (безотносительно к полу лица): моему представителю Ивановой, действующему... в лице директора Ивановой, действующего... В обиходной письменной и тем более устной речи в этих случаях, конечно, выбирается женский род.

Наименования ученых степеней и ученых званий выступают в общем ряду как однородные приложения. А должность и степень – неоднородные приложения. Поэтому первая запятая не нужна, вторая нужна: мы беседовали с заведующим такой-то кафедрой доктором математических наук, профессором Михаилом Ивановым.

Если между однородными подлежащими стоит разделительный союз или, возникает необходимость согласования в роде и подлежащие принадлежат к разному грамматическому роду, то сказуемое ставится во множественном числе: Если вам нужны доставка пиццы в лес или совет по выбору аудиосистемы...

Точка перед закрывающими кавычками не нужна. Имеете ввиду – намеренно цитируется предложение с ошибкой? Если нет, правильно: имеете в виду. О написании вы/Вы сказать сложно, т. к. непонятно, к какому количеству лиц и в каком контексте обращается автор.