Форма простой сравнительной степени тоньше образована от формы положительной степени тонк-ий, которая имеет основу, оканчивающуюся на заднеязычный согласный.

Прилагательные с основой на заднеязычные (к, г, х) и некоторые прилагательные с основой на согласные т, д или группы согласных ст, ск, зк образуют формы простой сравнительной степени с помощью суффикса -е: тонк-ий → тоньш-е, туг-ой → туж-е, сух-ой → суш-е, богат-ый → богач-е, молод-ой → молож-е, прост-ой → прощ-е, плоск-ий → площ-е, узкий → уж-е и т. п. При формообразовании происходит чередование заднеязычных, звуков т, д и групп согласных ст, ск, зк с шипящими.

Состав формы сравнительной степени тоньше: тоньш- ― корень, -е ― формообразующий суффикс.

У этого наименования склоняется первая часть: Тимора-Лешти,Тимору-Лешти...

В приведенном вами предложении запятые между союзами «или» расставлены корректно. 

Фамилию можно склонять двояким образом: с выпадением гласного (Озимка, Озимку и т. д.) и с сохранением гласного (Озимока, Озимоку и т. д.). Решение о типе склонения принимает носитель фамилии, но предпочтителен второй вариант (с сохранением гласного), так как в этом случае из косвенных форм легко вывести начальную форму фамилии.

Мужская фамилия Барабаш склоняется, женская — нет.

Из фамилий, оканчивающихся на -а, -я, которому предшествует согласный, не склоняются только фамилии французского происхождения с ударением на последнем слоге (Дюма́, Гавальда́, Золя́). Преимущественно не склоняются финские имена и фамилии, оканчивающиеся на -а неударное (хотя в ряде источников и их рекомендуется склонять). Фамилия Тихня к этим группам несклоняемых фамилий не относится и должна склоняться.

Да, лор исторически аббревиатура (от ларингооторинология). Но есть случаи, когда аббревиатуры по традиции пишутся строчными, это касается немногих широко употребительных звуковых аббревиатур, которые похожи на «обычные» слова и аббревиатурное прошлое которых давно забылось, ср.: вуз, дот. Такое написание определяется в словарном порядке. Орфографический академический ресурс «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН фиксирует: 

лор-… – первая часть сложных слов, пишется через дефис

лор-заболева́ния, -ий, ед. -ние, -я

лор-онколо́гия, -и

лор-о́рганы, -ов

лор-отделе́ние, -я

лор-препара́т, -а

лор-терапи́я, -и

и др.

Запятая нужна.

Название Мцхета склоняется: родился в Мцхете. Поскольку это название давно освоено русским языком, то оно может склоняться и со словом город: родился в городе Мцхете.

Правилен первый вариант: ...тихо, но с раздражением сказал он. Союз но связывает здесь два однородных обстоятельства.