Верен второй вариант.
Правильно: проведение дней рождения.
Правильно: день рождения.
Правильно: приглашает на день рождения (на празднование дня рождения).
На сайте самого движения используется обозначение Первые (с прописной без кавычек). То же — на логотипе организации. При этом в уставе организации и в официальных документах пишут «Движение первых».
О принадлежности ребенка к движению можно написать нейтрально — стал участником «Движения первых». Можно так: присоединился к Первым. Эти названия совсем недавно появились в языке, поэтому будем наблюдать за их употреблением. Возможно, со временем какие-то формулировки и написания станут устойчивыми, пока же они только осваиваются языком.
См. также ответ на вопрос № 319215.
Слово рождения не изменяется при изменении слова день. Правильно: дни рождения, информация о днях рождения.
Правильно: у Даши день рождения.
Правильно: с днем рождения; в разговорной речи и поэтических текстах допустимо: с днем рожденья.
