Корректно: во Львове. Правила выбора предлога см. в «Письмовнике».

В художественной литературе названия видов бабочек тоже пишутся строчными без кавычек: в окно влетел дневной павлиний глаз, на цветок опустился адмирал. Конечно, при таком оформлении смысл текста читателю (особенно ребенку) может быть непонятен. Но можно сделать примечание или немного изменить текст, вставить слово бабочка. Например: на цветок опустился адмирал (так называют одну из самых красивых бабочек) или на цветок опустилась красивая бабочка – адмирал.

Существительное ремонт обычно употребляется с прилагательным в конструкциях, где речь идет, если можно так выразиться, о качестве, характеристике ремонта: небольшой, мелкий, капитальный, профилактический, косметический, текущий, срочный, гарантийный... ремонт. О том, что именно ремонтируется, обычно сообщает не прилагательное, а существительное в родительном падеже после слова ремонт: ремонт обуви, одежды, часов, холодильника, автомобиля, здания, дома, квартиры... (но не обувной, автомобильный, квартирный... ремонт).

И тем не менее правильно: в городе Туле. А лучше просто: в Туле.

У слова громкий есть значение 'получивший широкую известность, огласку', поэтому ошибкой такое сочетание не является (если употребляется именно в этом значении).

Им. п. мн. ч. - трОсы.

Дефис не нужен.

С точки зрения грамматики все просто: вторая часть таких названий, представляющая собой склоняемое нарицательное существительное, должна склоняться. Это привычно для слуха.

А вот написание с пробелом действительно воспринимается плохо на фоне привычных аббревиатур и составных слов с первой неизменяемой частью - приложением. И если "АКБ Банк" можно превратить в банк "АКБ", то с названием "Газпром нефть" такая трансформация не получается (и хочется ожидать слитного написания).

Словари фиксируют слово "семечка" как разговорное. Но, конечно, "урожай семечки" - это за гранью.

Более привычно слитное написание.