Слитно.

Звучание этих слов несколько отличается: [тэ] и [т'е]. Поэтому правильнее назвать такие слова паронимами.

Склоняется.

Верно: услуга «Трезвый водитель».

Верно: правитель Венецианской республики.

Слово правитель управляет родительным падежом: правитель государства, правитель мира. Вероятно, Вас смущает, что глагол править требует творительного падежа: править государством, править миром. Но это вовсе не означает, что такое же управление должно быть и у существительного, образованного от этого глагола.

Оба предложения построены верно.

Употребление слова родитель (в значении 'отец') возможно, но только в разговорной речи.

В разговорной речи возможны все эти варианты. Но официально: подготовка водителей к сдаче экзаменов на право управления транспортными средствами категории В; водитель, имеющий право управления транспортным средством категории В.