В этих словосочетаниях наречие и последующее прилагательное пишутся раздельно.
Нужен родительный падеж. См.: http://gramota.ru/spravka/letters/?rub=otr
Вы написали правильно.
Следует писать раздельно: общественно активный.
См. в словарях.
Оба варианта возможны: развитые от развитый, развитые от развитой.
Предпочтительно: развитОй ребенок, язык. Вариант рАзвитый употребляется в знач. причастия (развитый в умственном отношении).
Следует писать раздельно: общественно значимая деятельность.
Правильно раздельное написание: общественно значимый.
См. "Словарь трудностей".