Верно: попали. Подпали - возможно в разговорной речи.
Слово светило склоняется по типу слов болото и чадо. В дат. падеже у них должно быть окончание -у: попал на прием к светилу медицины.
Предпочтительна форма мужского рода, однако форму женского рода можно использовать, если Вам важно подчеркнуть, что речь идет о женщине.
Возможно и единственное, и множественное число сказуемого.
В этом предложении запятая не нужна ни перед союзом и, ни после него.
Верно:
Точно установить, что именно пропало, пока не удалось.
Запятая не ставится, если повторяющиеся члены с частицами не или так между ними образуют единое смысловое целое со значением подчеркнутого утверждения, согласия или выражают значение неопределенности: Нет так нет; Ехать так ехать; Валерия опять посмотрела на меня и ничего не сказала: завтра так завтра.
Верно: Влип так влип, попал так попал.
По нажатии = после нажатия. По нажатию = при помощи нажатия. Лучше написать: нажав кнопку, мы попали внутрь.
