Все названные Вами варианты возможны.
Корректно: со встроенным оборудованием.
Слово счастлив требует формы творительного падежа, например: Он счастлив сознанием того, что нужен людям. В Вашем примере местоимение не требуется, лучше сказать: ...я счастлива, что он стал проводить с дочерью больше времени...
Фамилия должна склоняться. Правило см. в «Письмовнике» (пункт 13.1.11).
Вне контекста сочетание корректно.
Если термин интерфикс понимать широко (как соединительный элемент, помещаемый между двумя корнями или между корнем и суффиксом), то элементы -ер- (матери), -ес- (небеса) нужно относить к интерфиксам. См., например, статью «Аффикс» в энциклопедическом словаре «Языкознание» (М., 2000, с. 39) или учебник «Русский язык: краткий теоретический курс для школьников» Е. И. Литневской).
Если имя отца записано в его паспорте как Рафик, то отчество дочери – Рафиковна.