Судя по данным Национального корпуса русского языка, оба сочетания возможны, но сочетание глубина мыслей встречается гораздо реже, а в современных текстах примеры его употребления и вовсе единичны. Глубина мысли предпочтительней.

Значение обстоятельства образа действия приобретают обычно одиночные деепричастия на -а, -я, примыкающие к глаголу. Деепричастие с зависимыми словами, не примыкающее непосредственно к глаголу, как правило, сохраняет глагольное значение и обособляется: ...томно протянула она, играя голосом. (См. «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина, § 71–72.)

Авторы ресурса «Орфографическое комментирование русского словаря» Е. В. Бешенкова и О. Е. Иванова в качестве проверочного предлагают существительное запал.

Мама спросила: «Когда ты вернешься?» — повествовательное предложение.

Вы рассуждаете верно: подлежащее — суть, а в том — составное именное сказуемое (связка нулевая).

Пример употребления слова пожалуй в значении частицы приведен не «у нас», а в «Большом толковом словаре русского языка» С. А. Кузнецова. Неполные предложения в живой речи весьма нередки, и в них может не быть ни подлежащего, ни сказуемого. Например: «В этом предложении пишется не или ни?» — «Ни» (второе предложение целиком состоит из частицы).

Запятая перед тире обязательна, если в этом месте оканчивается придаточная часть, обособленный оборот или другая конструкция, требующая выделения запятыми с двух сторон. Приведенный случай именно таков: Тому, что было, — не бывать.

В словосочетании гнаться за успехом выражены, помимо объектных, и обстоятельственные отношения, то есть предложно-падежную форму за успехом можно считать и дополнением, и обстоятельством. Такая ситуация возникает при синтаксическом анализе довольно часто. «Русская грамматика» 1980 г. констатирует, что разные виды отношений, возникающие при подчинительных связях, «постоянно взаимодействуют друг с другом и этим создаются комплексные, диффузные отношения, т. е. отношения, которые совмещают в себе значения восполняющие и определительные, восполняющие и объектные, объектные и определительные, а в некоторых случаях — и те, и другие, и третьи одновременно» (§ 1726).

Примеры с сайта ФИПИ и в самом деле содержат ошибки. Но заключаются они не просто в дистантном расположении причастного оборота (обособленного определения), а в таком расположении, когда это определение следует после всей грамматической основы предложения, в которой подлежащее предшествует сказуемому. В примерах же из Воробьева и Булгакова обособленные определения предшествуют грамматической основе. Если обособленное определение подчинено подлежащему, оно может предшествовать ему и находиться где угодно до этого подлежащего. Если же оно подчинено подлежащему, но находится после него, то между подлежащим и этим определением могут находиться только такие другие члены предложения, которые тоже подчинены подлежащему. Начало состава сказуемого — Рубикон, пересекать который постпозитивному определению (к подлежащему) запрещено. В предложениях с сайта ФИПИ имеются подлежащие (Нефтяные) загрязнения и Экология, остальное же (являются угрозой всему живому в Мировом океане и является одной из молодых наук) — состав сказуемого. Ошибка и заключается в том, что в обоих случаях определение к подлежащему, находящемуся в начале предложения, помещено после состава сказуемого: при этом, как очевидно, возникает впечатление рассогласования, так как при восприятии предложения мы ищем «хозяина» определения в ближайшем слева существительном, а оно ни «хозяином» не является, ни соответствующей падежной формы не имеет.

Так что формулировка «дистантное расположение обособленного определения» ущербна, она далеко не полно отражает суть дела.

Без контекста определить значение этого слова невозможно. Например, в некоторых северных диалектах глагол нюхаться употребляется в значении 'искать поесть что-нибудь', а в разговорной речи — в значениях 'обнюхивать друг друга (о собаках)', 'сближаться, сходиться друг с другом'.