Предложение действительно неверное, в значении 'потереться' глагол погладиться не употребляется. Его значение -- 'подвергнуться глажению'. Ваш вопрос лучше оформить так:
Меня давно мучает вопрос, можно ли так написать: "Кошка погладилась о ножку стула"? Просто еще в школе учительница русского языка мне в сочинении указала на то, что это слово -- "погладилась" -- не существует.

Потому что указанные Вами слова не имеют соответствующих значений. Семантическое значение и этимологическое значение могут различаться.

С точки зрения русского языка предпочтителен первый вариант, во втором не вполне ясно, кого следует премировать, в третьем неясно, к какому существительному относится местоимение ее.

Слово Интернет пишется с большой буквы и склоняется: поискать в Интернете ссылку.

Правильно: в школе № 1 г. Беслана, о награждении Груздя Николая. Подробнее см. в «Письмовнике» и http://spravka.gramota.ru/surnames.html [работу Н. А. Еськовой].

Правила написания названий автомобилей, сформулированные в полном академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации» и в орфографическом словаре В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой «Прописная или строчная?», таковы.
Названия производственных марок технических изделий (в том числе машин) заключаются в кавычки и пишутся с прописной буквы: автомобили «Москвич-412», «Волга», «Вольво». Однако названия самих этих изделий (кроме названий, совпадающих с собственными именами - личными и географическими) пишутся в кавычках со строчной буквы, напр.: «кадиллак», «москвич», «тойота», но: «Волга», «Ока» (совпадают с именами собственными, поэтому пишутся с большой буквы). Исключения: «жигули», «мерседес» (совпадают с именами собственными, но пишутся со строчной).
Аббревиатурные названия пишутся без кавычек: ЗИЛ, ВАЗ, КамАЗ.
В бытовом употреблении названия средств передвижения могут употребляться без кавычек. Напр.: Приехал на стареньком москвиче (на роскошном кадиллаке). Без кавычек пишутся также разговорные названия машин с уменьшительно-ласкательными суффиксами, напр.: москвичок, фордик, уазик.
Что касается написания двойных названий (марка и модель автомобиля), то соответствующих рекомендаций в справочных пособиях по русскому языку нет. Только в «Справочнике издателя и автора» А. Э. Мильчина, Л. К. Чельцовой приведен пример «Опель-омега», но возникает вопрос, можно ли считать данный пример показательным для написания аналогичных компонентов других названий (Королла, Меган, Сценик, Гетц и пр.), учитывая, что слово омега совпадает с нарицательным существительным – названием буквы греческого алфавита. На наш взгляд, корректно такое написание: «Тойота-Королла», «Рено-Меган», «Ниссан-Теана», «Хёндай-Гетц» и пр. А дефис ставится вот почему. В русском языке для передачи иностранных названий, пишущихся в языке-источнике раздельно, используется дефис, ср.: Нью-Йорк – New York.
В заключение отметим, что написание названий марок автомобилей (как и других изделий техники и электроники) является одной из самых неупорядоченных и неустойчивых областей современной русской орфографии и задачу регламентирования написания таких наименований еще предстоит решать лингвистам.

Справочная служба русского языка отвечет на вопросы по русскому языку.

См. в «Письмовнике».

В «Справочнике по русскому языку. Управление в русском языке» указано, что слово ждать употребляется и с родительным (ждать чего), и с винительным (ждать кого-что) падежами. Винительный падеж обычно употребляется при сочетании с одушевленными существительными или с неодушевленными, но употребленными с оттенком определенности. Поэтому предпочтительно: буду ждать Ваше письмо с рассказом. Ср.: буду ждать Вашего письма.

В «Словаре сочетамости слов русского языка» под ред. П. Н. Денисова, В. В. Морковкина и справочнике «Управление в русском языке» Д. Э. Розенталя эти варианты указаны как равноправные.