Причастие относится к слову деятельность, поэтому, как и определяемое слово, должно стоять в форме винительного падежа. Корректно: Копия лицензии на деятельность, связанную с обращением взрывчатых материалов промышленного назначения.

Предпочтительно: срок годности не ограничен.

В деепричастиях прошедшего времени, как и в глаголах прошедшего времени, перед суффиксом сохраняется та же гласная, что и в инфинитиве: увидев, увидел.

Поддерживаемый - от глагола первого спряжения (поддерживать, поддерживает). Глаголы держать и поддерживать относятся к разным спряжениям (ко второму и к первому соответственно).

Это наречие. Оно является зависимым словом при причастии, поэтому причастие с не пишется раздельно: Молодые, ещё не окрепшие рога марала.

Возможно, мы принимали Ваши вопросы за школьные задания и поэтому не отвечали на них. Извините.

1. Форма зависит от контекста. Если имеется в виду годовщина, двадцатилетие со дня изобретения промышленной добычи газа, то верно: 20 лет промышленной добыче газа. Также см. вопрос 261365. В ином контексте возможна форма родительного падежа, например: 20 лет промышленной добычи газа изменили экономику региона.

2. Это причастие с зависимым словом, пишется раздельно: долго не заживающая рана.

3. Возможны оба варианта, но с разными оттенками значения. В значении 'отнюдь не обязательный' – раздельно. В значении 'совершенно, очень необязательный' – слитно.

В связи с наличием зависимого слова пишется две Н: копченные на дровах.

Можно объяснить тем, что это словарное слово :) А можно историей слова. Движимый – это форма древнего глагола движить. От глагола на -ить образовалась форма с суффиксом -им-. Но глагол движить перестал употребляться, и слово движимый стало соотноситься с глаголом двигать, от которого образуется причастие и прилагательное с суффиксом -ем- – двигаемый. Так слово движимый оказалось исключением. 

Верно. Слово еще является зависимым, поэтому причастие с не пишется раздельно.

Это прилагательное.