Правильно: шенгенские соглашения, шенгенская виза, но Шенгенская конвенция, Шенгенский комитет, страны Шенгенской группы (словарь В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой «Прописная или строчная?»). По аналогии: Шенгенская зона (в значении 'страны Шенгенской группы').
Правильно с НИ.
Да, определение нужно выделить запятыми.
Следует написать слитно.
Правильно с ни.
Корректно написание со строчной буквы.
Необходимости в постановке тире нет. Но оно вполне возможно как интонационный знак. Решает автор текста.
Запятая поставлена верно.
Корректно: Нет никаких «потом».
Помыт – это краткое страдательное причастие прош. времени (ср. с полной формой помытый). Грамматическое значение ед. числа и муж. рода передается нулевым окончанием (ср.: она помыта, оно помыто, они помыты). Суффикс причастия – т, корень – мы, приставка – по (ср. с формами помыть, помылся, мыть, помывшийся).
