Корректно: Документ о присвоении должности судьям и об освобождении от нее;  об одном и том же.

Действительно может быть вводным словом, которое выражает уверенность говорящего в сообщаемом, употребляется для подтверждения, признания правильности сказанного ранее и требует обособления. При этом оно может быть и членом предложения — наречием в значении «на самом деле, подлинно». Как указывают справочники, зачастую трудно определить, является ли слово действительно вводным. В спорных случаях вопрос о расстановке знаков препинания решает автор текста.

Слово ведь является в этом предложении союзом. Он употреблен для присоединения придаточной части сложноподчинённого предложения, которая, имея характер добавочного примечания, указывает на непосредственную причину, основание, аргументацию, доказательство и т. п. того, о чём говорится в главной части.

Написание названий, состоящих из нарицательных имен и стоящих во множественном числе, не урегулировано правилами орфографии. Опираясь на общие закономерности употребления прописной буквы, можно дать следующие рекомендации.

Если важно подчеркнуть, что речь идет именно о празднике День энергетика, то в форме множественного числа заглавную букву нужно сохранить. Она имеет смысловое значение — сообщает читателю, что перед ним название, а не описательный оборот. Однако заметим, что использовать форму множественного числа допустимо только в том случае, если она не будет порождать двусмысленности: говорится о нескольких праздниках, называющихся День энергетика, или о празднике, длящемся несколько дней и поэтому называющемся Дни энергетика. (См. также ответ о названии День города.)

Сочетание Доска почета во множественном числе рекомендуем писать со строчной буквы. Заглавная буква в этом сочетании — средство выражения почтительного отношения к объекту. Можно провести параллель с написанием Вы в письме к одному человеку и вы — к нескольким людям.

Такие выражения, как чтить память отца и матери, чтить память героев, чтить память покойного, содержат устойчивое сочетание чтить память. Примеры, иллюстрирующие его употребление в церковной и в светской речи, находим в литературе; см. фрагменты из художественных произведений первой половины XIX века: «Она... занималась детьми, учила их доброму, приказывала чтить память отца» [Ф. В. Ростопчин. Ох, французы! (1812)]; «Все нижегородские жители чтят память бывшего своего воеводы, а твоего покойного родителя» [М. Н. Загоскин. Юрий Милославский, или русские в 1612 году (1829)]; «Всякое утешение казалось мне оскорблением священной горести, какою чтил он память незабвенного для него человека» [Н. А. Полевой. Живописец (1833)]. Значение сочетания толкуется с опорой на значения глагола чтить и существительного память. Важно, что в этом случае слово память подразумевает хранимые сведения и знания об умерших людях (ср. выражения увековечить память учёного, посвятить книгу памяти отца, светлая память павшим героям).

О словах тоже и также обычно пишут как о сочинительных соединительных союзах. Так обычно и в школьных учебниках. И если отталкиваться от этих представлений, то перед нами два сложносочиненных предложения.

Однако у этих слов есть важная особенность: в строго нормативной речи им запрещена позиция между связываемыми частями сложного предложения. Между тем прототипические сочинительные соединительные (и не только) союзы обязаны занимать именно такую позицию: предложение *Взошло солнце, повсюду запели и птицы любой носитель русского языка оценит как аномальное. Если учитывать эту особенность, слова тоже и также можно квалифицировать как функциональные аналоги союзов (именно так сделано в академической «Русской грамматике»). Это означает, что они уже прошли бо́льшую часть пути от местоимений с частицами к союзам, но до конца этого пути им еще далеко.

Однако и при такой квалификации этих слов предложения остаются сложносочиненными: отличие от классических сложносочиненных только в том, каким средством оформляется сочинительная связь.

Словарям доверять стоит, но с учетом их особенностей. «Русский орфографический словарь» под ред. В. В. Лопатина и О. Е. Ивановой, на который Вы ссылаетесь, – это академический орфографический словарь. Он отражает современную орфографическую норму, т. е. помогает установить, какое написание является правильным. Однако фиксация слова в словаре не означает, что это слово уместно в любой ситуации, в любом стиле речи. Например, в словаре зафиксированы слова на фиг и пофиг. Это означает, что если у пишущего возникнет потребность написать эти грубые слова (например, в тексте сценария фильма, в речи персонажей), то сделать это нужно в соответствии с правилами орфографии, т. е. так, как зафиксировано в этом словаре. 

Словарь Т. Ф.  Ефремовой – это авторский толковый словарь. Его многие ценят за то, что в нем зафиксированы новые слова, еще не вошедшие в академические словари.

Однако в случае орфографических расхождений руководствоваться следует академическим орфографическим словарем.

Слова по-ее, по-его, по-их, по-ихнему  употребляются крайне редко и являются стилистически сниженными.

Различие между этими терминами можно увидеть, обратившись, например, к энциклопедии «Русский язык» (статьи «Фразеологизм», «Пословица», «Поговорка» написаны А. Н. Барановым и Д. О. Добровольским).

Фразеологизм — общее название для устойчивых словосочетаний или предложений, обладающих семантической или синтаксической нерегулярностью и имеющих смысл, не выводимый из смысла составляющих их слов. К фразеологизмам относят идиомы, коллокации, пословицы, поговорки; выделяется также разряд крылатых слов.

Пословица — фразеологизм со структурой предложения, имеющий в своем значении идею всеобщности, выражающий рекомендацию (совет, нравоучение или запрет) или объясняющий обсуждаемое положение дел.

Поговорка тоже имеет структуру предложения и часто осмысляется как в чём-то «ущербная» пословица.  Пословицы обладают большей речевой самостоятельностью и большей независимостью от ситуации и контекста, чем поговорки. Например, пословица Цыплят по осени считают уместна в любой ситуации, где говорящий считает себя вправе давать совет, ср. поговорку старость не радость, которая представляет собой реакцию на какие-то физические или умственные затруднения, связанные с возрастом одного из участников ситуации общения.

Слово иноагент является аббревиатурой (сложносокращенным словом), созданной на основе сочетания начальной части слова иностранный (ино-) с целым словом агент. В сложносокращенных словах, в отличие от сложных слов, интерфиксы отсутствуют. Основной особенностью аббревиатурного усечения основ является его независимость от морфемного членения: от слова может остаться любой отрезок. Поэтому правила образования сложносокращенных слов в аббревиатуре иноагент не нарушены, слово зафиксировано в академическом орфографическом словаре, размещенном на ресурсе «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН.

Действительно, в аббревиатурах (сложносокращенных словах) интурист и иняз используется другая усеченная часть основы слова иностранный, однако в сложносокращенных словах иномарка, иноСМИ присутствует отрезок с гласной ― ино-.

В фонетической системе русского языка нет запрета на сочетание безударного и ударного звука [а], ср.: соавтор, поахать, одноактный, легкоатлет, биоакустика и др. Так что и в звуковом плане слово нормативно.

Упомянутые в вопросе слова иностранец и иномир образованы способом сложения, в них используется основа слова иной и интерфикс -о-.

В этом предложении из «Сказки для детей» М. Ю. Лермонтова союз но противопоставляет содержание шестой строфы содержанию пятой строфы, сравним:

5
То был ли сам великий Сатана
Иль мелкий бес из самых нечиновных,
Которых дружба людям так нужна
Для тайных дел, семейных и любовных?
Не знаю! Если б им была дана
Земная форма, по рогам и платью
Я мог бы сволочь различить со знатью;
Но дух — известно, что такое дух!
Жизнь, сила, чувство, зренье, голос, слух —
И мысль — без тела — часто в видах разных;
(Бесов вобще рисуют безобразных.)

6
Но я не так всегда воображал
Врага святых и чистых побуждений.
Мой юный ум, бывало, возмущал
Могучий образ; меж иных видений,
Как царь, немой и гордый, он сиял
Такой волшебно-сладкой красотою,
Что было страшно... и душа тоскою
Сжималася — и этот дикий бред
Преследовал мой разум много лет.
Но я, расставшись с прочими мечтами,
И от него отделался — стихами!

В диктанте принимается как правильное современное написание названия института. Оно было закреплено уставом и фиксируется в ряде орфографических руководств, например в академическом «Русском орфографическом словаре» (М., 2012), словаре «Прописная или строчная?» В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой (М., 2011). См. также ресурс «Проверка слова». Написание Пушкинский Дом было принято в источнике диктанта – книге Е. Г. Водолазкина, ведущего научного сотрудника Пушкинского Дома, «Инструмент языка. О людях и словах».

В публикациях романа А. Г. Битова слово дом в названии института пишется, насколько мы можем судить по доступным нам источникам, со строчной буквы. Такое написание, по-видимому, преобладало во время выхода романа и было отражено в словаре-справочнике Д. Э. Розенталя «Прописная или строчная?» (М., 1989). Интересно, что в публикации положения об институте 1907 года выбрана та же графическая форма названия – Пушкинский дом.

Тексты диктантов на нашем портале носят обучающий, а не контролирующий характер, поэтому принятое там решение о написании названия Пушкинский Дом вполне возможно. Однако орфографический комментарий, конечно, нужно дополнить. Спасибо Вам за то, что обратили наше внимание на этот интересный случай.