Главный член этого предложения — было вдоволь работы. Предложение односоставное, номинативное, но с несколько усложненным способом выражения главного члена. Помимо формальной связки было, в главный член входит не просто сущ. в И. п., как в стандартном номинативном предложении (ср. В течение всего путешествия была ужасная жара), а количественно-именное сочетание, в котором при этом вместо числительного использовано наречие вдоволь (ср. много).
В течение путешествия — обстоятельство времени (по школьной грамматике), или темпоральный детерминант (по университетской). Всего — согласованное определение.
Предложение неполное, в нем опущен обязательный член, который должен отвечать на вопрос, у кого было вдоволь работы. В школе этот распространитель нужно будет назвать косвенным дополнением, в университете — субъектным детерминантом.
Запятая не нужна.
Во всех случаях правильно класть.
Что Вас смущает в этом глаголе? Какие затруднения возникают с его употреблением?
Более употребительно: настилать паркет.
Верно при отсутствии противопоставления.
