Наименования ученых степеней и ученых званий выступают в общем ряду как однородные приложения. А должность и степень – неоднородные приложения. Поэтому первая запятая не нужна, вторая нужна: мы беседовали с заведующим такой-то кафедрой доктором математических наук, профессором Михаилом Ивановым.

Если имеется в виду город Стаханов, то верно: В Стаханове открылась новая фабрика.

В доступных нам справочниках подобный случай не рассматривается. Корректно, на наш взгляд, такое оформление (с пробелом перед скобкой):

Да, покупал (-а)
Нет, не покупал (-а)

Да, наблюдался (-ась)
Нет, не наблюдался (-ась) 

На поляны можно считать и дополнением, и обстоятельством. Обе точки зрения имеют право на существование. Печальные – определение.

Окончание -у не представляет орфографической трудности, поэтому его часто не указывают в таблицах окончаний для школы, а информацию о нем вводят за пределами таблиц в текстовой форме. Именно так поступил М. Т. Баранов с коллегами при написании справочника для школьников «Русский язык». Коротко об окончании предложного падежа -у рассказано на нашем портале в отвте на вопрос № 255183, а значительно подробнее — в «Русской грамматике» 1980 г. (§ 1182–1183).

Оба варианта возможны.

Словарь «Русское словесное ударение» (Зарва М. В. Русское словесное ударение: Словарь. Около 50 000 слов. М.: Издательство НЦ ЭНАС, 2001. 600 с.) предлагает вариант переводнОй балл, однако в учебнике «Русский язык» (Баранов М. Т., Ладыженская Т. А., Тростенцова Л. А. и др. Русский язык. 6 класс. Учебник) в словарике указан вариант перевОдный балл, который встречается в профессиональной (учебной, школьной) лексике и отражает устоявшуюся консервативную норму.

В свою очередь — это грамматический фразеологизм. О них писали А. Баранов и Д. Добровольский в книге «Основы фразеологии». Грамматические фразеологизмы — это неоднословные выражения, которые с содержательной точки зрения характеризуются идиоматичностью значения (т. е. их план содержания не вычисляется по регулярным правилам) и которые связаны с нерегулярным выражением грамматических (в том числе модальных) смыслов и/или представляют собой сочетания различных служебных слов.

Такие фразеологизмы могут выполнять метатекстовые функции, вводить примеры и т. п. То есть роль члена предложения в данном случае — не критерий фразеологичности. Так же устроены тем не менее, по меньшей мере, чуть что, в том числе.

В этом предложении предпочтительно двоеточие, так как вторая часть раскрывает, поясняет содержание первой. Однако в этих случаях правилами допускается и постановка тире: «В бессоюзном сложном предложении при обозначении пояснения, причины, обоснования, изъяснения допустимо употребление тире вместо двоеточия (особенно в художественной литературе и в публицистике). Вот, в частности, примеры из произведений К. Паустовского: Изредка в небе светилось голубоватое пятно — за тучками пробивалась луна, но тотчас гасла; Подснежники, наверное, уже прорастали в земле — их слабый травянистый запах просачивался сквозь снег; Слой облаков был очень тонок — сквозь него просвечивало солнце; На молу погасили огни — теплоход ушел; Татьяна Андреевна вздрагивала от сырости — после теплой каюты на палубе было свежо; Паханов крепко держал капитана за локоть — капитан был еще слаб после ранения; Ей хотелось заплакать — лом даже через варежки леденил руки; В армию меня тоже не берут — сердце заштопанное; Однажды зимой вышел я и слышу — стонет кто-то за оградой («Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник» под ред. В. В. Лопатина, прим. 2 к параграфу 129).