В тексте название премии нужно писать в кавычках. В орфографических словарях, которые призваны показывать собственно орфографическую форму (буквенный состав, слитное/дефисное/раздельное написание), кавычки, являющиеся пунктуационным знаком, часто не используют. Прежде всего, это связано с тем, что кавычки в начале словарной статьи затрудняют поиск слов в словаре.

Дело в том, что у слова год существует две формы родительного падежа множественного числа: годов и лет (вторая форма - супплетивная, то есть образованная от другой основы). При этом форма лет используется в счетных конструкциях: пять лет, много лет и т. п.; но: в начале 90-х годов.

Вводное слово, находящееся в начале обособленного члена предложения, не отделяется от него знаком препинания: Многие моменты, о которых мы говорили, например о важности получения высшего образования, нашли отражение в концепции. См. параграф 93 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.).

Нет причин для написания подобных сочетаний с прописной буквы. Это подтверждается практикой письма. К примеру, в сочетании китайская сторона, которое встречается в газетном подкорпусе Национального корпуса русского языка в 2085 документах, прописная буква не в начале предложения употребляется в единичных случаях, ничем не отличающихся от остальных. 

Прилагательное на -ский, образованное от собственного имени, пишется со строчной буквы, кроме тех случаев, когда оно стоит в начале составного названия. Вопрос в том, приводите ли Вы в предложении официальное название библиотеки или даете описательный оборот. Ср.: учиться в московской школе и учиться в Московском государственном университете. 

Д. Э. Розенталь в справочнике «Пунктуация» указывает, что запятая между союзом но, стоящим в начале предложения, и следующим за ним подчинительным союзом не ставится при отсутствии паузы между союзами и ставится, если пауза делается. Таким образом, здесь окончательное решение принимает автор текста. Ответ на вопрос № 207180 дополнен.

Произношение звуков, передаваемых на письме буквой я, в этом слове вполне «традиционное»: так же, как и в других словах с я в начале слова, на месте я произносится сочетание [йие] – [йиеишн']ица, ср. язык, январь ([йиезык], [йиенвар']) и др. «Йот» в слове яичница произносится очень слабо, но всё-таки произносится.

Если вводное слово или вводное сочетание слов стоит в начале или в конце обособленного члена предложения, то оно не отделяется от него знаком препинания, то есть запятые выделяют член предложения вместе с вводным словом: Он брыкался, но уже менее активно, по-видимому решив, что сопротивление на данной стадии бессмысленно.

Правилен третий вариант. Обратите внимание: если обращение, стоящее в начале предложения, произносится с восклицательной интонацией, то после него ставится восклицательный знак и следующее за обращением слово пишется с прописной буквы. Если важно подчеркнуть, что в тексте цитируется А. С. Пушкин, то строчную букву в слове скажи нужно оставить.