Скорее всего, в презентации речь шла о правилах координации, согласно которым «недопустимо слитное или дефисное написание с приставкой или первой частью сложного слова, если вторая часть содержит пробел, т. е. представляет собой сочетание слов»: лже доктор наук, мини стиральная машина, пол рабочего дня. Другое дело, что пример (пол)квартиры отца в контексте этого правила неудачный, поскольку может иметь разный смысл. Если вся квартира принадлежит отцу и речь идет о половине этой квартиры, то верно написание пол квартиры отца. Если же отцу принадлежит не вся квартира, а только половина и речь идет именно об этой половине, то верен вариант полквартиры отца.

Первоначальная форма существительного лестница –  лезтва. Оно действительно образовано от глагола лезть с помощью суффикса -тв- (так же, как, например, слово бритва образовано от глагола брить), т. е. буквально это слово означает «то, с помощью чего лезут».

Но еще в праславянском языке, задолго до того, как стать лестницей, лезтва стала лествой: перед глухим согласным з превратилось в с. Впоследствии лества уступило место лествице. И только потом,  под влиянием многочисленных слов, оканчивающихся на -ниц-а (звонница, кузница и др.), лествица стала лестницей.

Таким образом, ввести написание через з  означало бы искусственно вернуть это слово к той форме, от которой оно естественным образом ушло много веков назад. Вряд ли в этом есть смысл.

Разница между словами отличие и различие состоит в том, что отличие - это признак, присущий одному предмету (или классу предметов) и отличающий его от остальных. Например: новый самолет имеет следующие отличия (НЕ различия!) от предыдущих моделей.

Различие же – это разница, несходство между кем-либо или чем-либо. Различие в равной степени характеризует все различаемые предметы и понятия: существенное различие  (НЕ отличие!) между новым и старым самолетами состоит в том, что...

Теперь о Вашем случае. Фразы имеют разный смысл. Найди пять отличий означает "найди характерные, отличительные черты данного предмета". Найди пять различий - "найди, чем различаются данные предметы".

Таким образом, нужно выбрать вариант исходя из требуемого смысла фразы.

Не всегда. Эти слова пишутся с прописной буквы в контекстах, где им приписывается особый высокий смысл, например: Я готов отдать жизнь за Родину. «Они сражались за Родину» (роман М. Шолохова). «С чего начинается Родина?» (песня М. Матусовского). Славься, Отечество наше свободное! (строка из гимна России). День защитника Отечества (государственный праздник).

Однако правильно написание со строчной, если слова родина, отечество употребляются обобщенно в значении 'родная страна' или в значении 'место рождения кого-либо', например: Писатель умер вдали от родины. Москва – моя родина. Нет пророка в своем отечестве. Ах Арбат, мой Арбат, ты мое отечество (Б. Окуджава). Невозможно написание с прописной при употреблении слова родина в значении 'место происхождения чего-либо', например: Индия – родина шахмат.

Если мы верно поняли смысл предложения, то знаки препинания в нем должны быть расставлены следующим образом: Дома, ты говоришь, никого нет или я ошибаюсь? Это сложное предложение состоит из трех простых. Запятыми выделяется предложение ты говоришь, связанное бессоюзной связью и стоящее внутри предложения дома никого нет. Предложения дома никого нет и я ошибаюсь связаны сочинительной связью, при помощи союза или. Запятая перед соединительными и разделительными союзами в сложносочиненном предложении не ставится, если в его состав входят вопросительные предложения (их объединяет вопросительная интонация): Который теперь час и сколько времени осталось до отхода поезда?; Когда состоится конференция и какова повестка дня?; Вы придёте ко мне или мне прийти к вам?

В первой части предложения сравнительный оборот образует смысловой центр (смысл не в том, что полицмейстер заходит в лавки, а в том, как именно он это делает), а значит, тесно связан со сказуемым, что дает основание не обособлять его. Сравним примеры из Национального корпуса русского языка: Художники и гуманисты приходили к Козимо как к себе домой и чувствовали себя с ним совсем просто. [А. К. Дживелегов. Вазари и Италия (1933)] (здесь случай, подобный Вашему); А то я туда сунулся, как к себе домой, а там мужик какой-то незнакомый [А. Маринина. Не мешайте палачу (1996)] (смысловой центр первой части, важный для развития сюжета, образует сказуемое сунулся, оборот как к себе домой добавляет малосущественную характеристику).

Орфографический словарь

Большой толковый словарь

Большой толковый словарь

Выбор формы зависит от контекста. Ср., например: делать что-либо в обход начальника отделения (т. е. без согласования с ним).

Если имеется в виду, что сам начальник отделения совершал обход, то правила выбора между родительным и творительным падежом такие. К творительному падежу обычно прибегают, когда в случае употребления родительного падежа неясно, кто совершал действие. Например, в конструкции непонимание критика привело к скандалу смысл неясен: то ли сам критик кого-то не понял, то ли не поняли критика. Вот в этом случае и придет на помощь творительный падеж: чтобы подчеркнуть, что кого-то не понял сам критик, следует выбрать вариант непонимание критиком.

Если же из контекста ясно, о чем идет речь, то употребляется родительный падеж. Корректно: обход начальника отделения, если из контекста читателю будет понятно, что обход совершал сам начальник.

Грош – старинная медная монета в две копейки, позднее – полкопейки. Пятак – монета или сумма в 5 копеек. Смысл поговорки на грош пятаков (купить, просить, менять и т. п.) – пытаться обмануть кого-либо, получить что-либо даром или заплатив значительно меньшую сумму, приложив значительно меньше усилий (т. е. буквально: пытаться за две копейки (или полкопейки) получить несколько пятикопеечных монет). Точное время возникновения поговорки установить вряд ли возможно; учитывая, что гроши в России начали чеканить в середине XVII века, можно утверждать, что время возникновения поговорки – конец XVII – первая половина XIX вв., во второй половине XIX в. это выражение уже отмечено в литературе: «Навострились, крестный, навострились, ― отозвался с усмешкой Колышкин. ― Всяк норовит на грош пятаков наменять» (П. Мельников-Печерский, В лесах, 1871–74); зафиксировано оно и в словаре В. И. Даля.