Суффиксальные производные от аббревиатур пишутся, как правило, строчными буквами: вазовский, мидовский, ооновский.
Украинский ← Украин-а + ск; невский ← Нев-а + ск; московский ← Москв-а + ск.
Полное название вуза: Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова. Краткое название: МГУ.
Большой толковый словарь
2. НИЩИЙ, -его; м. Человек, который живёт подаянием, нищенствует. Я знал одного нищего. Нищие с утра уже на паперти.<Нищая, -ей; ж. Нищенский (см.).
Можно и так и так. Ну не знаем мы, как произносил эту строку Жуковский! Нет фонограммы!
Верно написание строчными буквами, если это нарицательное наименование. В собственном наименовании первое слово пишется с большой буквы: Московский театр эстрады.
Cобственные наименования — неоднословные названия индивидуализированных объектов («Вечерняя Москва»). В состав собственных наименований не обязательно входит собственное имя (Московский государственный университет).
Аналогия применима. Корректно: Нью-Йоркский метрополитен (собственное наименование), но нью-йоркское метро (передача разговорного употребления) – как Московский метрополитен (официально) и московское метро (неофиц.).
При официальном титуловании правильно: Патриарх Московский и всея Руси. Вне такого употребления слово патриарх пишется со строчной, например: патриарх Кирилл, прием у патриарха.