В Калининградской области есть поселок Ливны. Возможно, именно с этим топонимом связана история названия Вашего поселка. Справочная служба не располагает возможностью проводить топонимические изыскания. 

Вы правы, если перед деепричастным оборотом стоит усилительная частица и, оборот не обособляется: Но этот принцип можно использовать и не проводя конкурса.

Верно: Мероприятие, посвященное встрече нового, 2016 года и выплате премий.

Подробнее см. здесь.

Верно при использовании указанных союзов: даю согласие на поездки моего сына в Турцию, и (или) Грецию, и (или) Болгарию, и (или) Хорватию...

Запятая не ставится. Правило звучит следующим образом.

Не ставится запятая в цельных фразеологизированных сочетаниях с повторяющимися союзами и... и, ни... ни (они соединяют слова с противопоставляемыми значениями): и день и ночь, и стар и млад, и смех и горе, и там и сям, и то и се, и туда и сюда, ни два ни полтора, ни дать ни взять, ни сват ни брат, ни взад ни вперед, ни дна ни покрышки, ни то ни се, ни стать ни сесть, ни жив ни мертв, ни да ни нет, ни слуху ни духу, ни себе ни людям, ни рыба ни мясо, ни так ни сяк, ни пава ни ворона, ни шатко ни валко, ни тот ни этот и др. То же при парных сочетаниях слов, когда третьего не дано: и муж и жена, и земля и небо.

Предлагаем такой вариант: Это позволило оказать помощь 249 семьям: 99 – воспитывающим детей с ограниченными возможностями здоровья, 93 малоимущим, 29 многодетным и 28 – оказавшимся в иной трудной жизненной ситуации.

Корректно: позволит клиентам оставаться с вами.

Сруб бани, сруб для бани - корректно. Сруб на баню - менее употребительно.

Верно: Бали.

В «Справочнике по русскому языку: правописание, произношение, литературное редактирование» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой содержится рекомендация повторять предлог, если однородные члены соединены сопоставительными союзами (союз как... так и сопоставительный). Поэтому верно: как в науке, так и в искусстве.