Правильно: дома культуры, природы, молодежи. С большой буквы пишется первое слово наименования – имени собственного. Собственные имена выделяют предмет из ряда однородных. А множественное число как раз указывает на ряд однородных предметов, т. е. здесь перед нами нарицательные существительные.
Возможно, Вам поможет пособие Л. А. Шкатовой, Е. В. Харченко.
Поскольку вставная конструкция примыкает к причастному обороту, запятую следует поставить после нее (как во втором варианте).
В публицистическом тексте уместно написание строчными буквами.
Корректно с прописной буквы: В регионе проходят Дни культуры, Дни поэзии, Дни архитектуры.
Правильно: в национальной и мировой экономике.
Национальный корпус русского языка доступен по адресу www.ruscorpora.ru.
Правильно: национальный парк «Лосиный Остров». Слово остров пишется с большой буквы, поскольку употребляется не в своем основном значении (это не остров, а лесной массив).
Запятая поставлена верно.
