Корректно: программа «Музеи Русского Севера».
О падеже: нужен творительный падеж (музеем). Слова заведующий, управляющий, командующий и т. п., по своему происхождению являющиеся причастиями, управляют творительным падежом.
Что касается рода, то мужской род уместен в строгой деловой речи (в приказе: назначить заведующим музеем Иванову...). В обиходной письменной и тем более устной речи верно: заведующая музеем.
Такая фраза (с переносным значением) возможна.
Да, верно: музею было присвоено имя А. П. Чехова.
По общему правилу в названии этого музея с большой буквы пишется первое слово и входящее в состав названия имя собственное: Палаты бояр Романовых.
Тире нужно, оно ставится между подлежащим и сказуемым.
Лучше: Музею принадлежит более 150 рисунков. Во втором примере форма сказуемого корректна.
Правильно: на концерты. А что смущает в правописании?
Оба варианта неудачны. Предлагаем такую формулировку: Мемориальная доска на здании музея свидетельствует о том, что он является объектом культурного наследия.
Корректно: Музейный фонд пополнился рядом предметов, привезенных сотрудниками музея из командировок.
