Слово острова пишется строчными в значении 'группа островов, архипелаг': Сейшельские острова, Маршалловы острова, Виргинские острова. Но в официальных названиях государств, административных территорий слово Острова пишется с прописной: Республика Сейшельские Острова, Республика Маршалловы Острова (названия государств), Британские Виргинские Острова (название британской заморской территории).
Правильно: Западные Малые Зондские острова.
Правильно: на Тайване.
В предложном падеже правильно: на Маврикии. С другими падежами трудностей быть не должно.
Оба варианта возможны.
Правильно раздельное написание: остро заточенные лезвия.
Справочные пособия рекомендуют согласовывать с родовыми наименованиями названия озер и островов, выраженные полными именами прилагательными. См. «Справочник по правописанию и литературной правке» Д. Э. Розенталя (раздел «Согласование определений и приложений», параграф «Приложения – географические названия») и «Словарь географических названий» А. В. Суперанской (М., 2012).
В практике письма наблюдаются колебания. Так, Д. Э. Розенталь приводит два примера из одной статьи К. Симонова: Длина острова Даманского – полтора километра и Провокации происходили и около острова Даманский, и в тридцати километрах оттуда.
Корректно: ...на обложке его настольной книги — чеховского "Острова Сахалин".
Орфографически правильно: Каймановы Острова. В соответствии с Общероссийским классификатором стран мира название страны – Острова Кайман.
В этом предложении запятые не нужны.
