Сказуемые врач и не разобрал относятся к одному подлежащему Леня, так что по структурному принципу русской пунктуации запятая между ними ставиться не должна. Однако уместно поставить тире для подчеркивания значения противопоставления, выраженного частицей все равно: Леня сам врач — и все равно ничего не разобрал.

Первая часть этой конструкции представляет собой восклицательное предложение, вторая, незаконченная, — вопросительное, поэтому, если позволяет контекст, можно разделить конструкцию на два предложения: Как я волновалась! Смогу ли?.. Если требуется объединить две части, можно использовать структуру сложноподчиненного предложения с придаточным изъяснительным: Как я волновалась, смогу ли!

1. Вы правы, задание некорректно составлено.  Слово осень можно разделить на слоги так, что первый слог будет состоять из одной буквы.

2. Это также ошибка. Двух гласных в слоге быть не должно. Обо всем этом можно прочитать в обычном школьном учебнике, и на учебник же сослаться.

Слово заниженный пишется с двумя Н. Но предложение слишком громоздкое, слишком канцелярское. Ведь смысл можно выразить проще: «телефонная связь работала хуже из-за повреждения». Если нужно соблюсти строгость делового стиля, можно написать, например: Качество услуг телефонной связи снизилось из-за повреждения или Снижение качества услуг телефонной связи вызвано повреждением.

Слово можно относят к особому лексико-грамматическому классу – предикативам. Это слова со значениями долженствования, необходимости, возможности, выступающие в функции главного члена односоставного предложения. Предикативы могут рассматриваться как особый класс наречий. Подробнее о них можно прочитать в учебнике «Русский язык: краткий теоретический курс для школьников» или в «Русской грамматике».

Согласовывать надо со словом простуда, а слово симптомов представляется лишним: ведь лечить надо болезнь, а не симптомы. Корректно: Лекарство можно применять для лечения простуды, сопровождающейся кашлем и заложенностью в носу. Другой возможный вариант: Лекарство можно применять при таких симптомах простуды, как кашель и заложенность в носу.

Оформление библиографических данных вне ситуаций, когда предписано выполнять требования соответствующих ГОСТов, не регламентируется. Авторов можно указать и до, и после названия, выбор обуславливается контекстом. Между именами двух авторов можно поставить запятую или союз и. А вот точку или запятую между именем автора и названием ставить не нужно.

На титульном листе должны быть указаны: автор доклада (фамилия, имя, можно отчество), название доклада без кавычек и точки в конце, класс, руководитель (если он есть), год. Специальной формы для титульного листа школьного доклада нет, но можно ориентироваться на форму титульного листа к другим исследовательским работам. См., например, здесь. 

Вообще говоря, деепричастные обороты обычно и являются обстоятельствами, обозначая "дополнительное действие"; в этом состоит их синтаксическая функция. Как правило, деепричастия с наречным значением можно заменить на наречия или существительные, ср.: поезд шел не останавливаясь - поезд шел без остановки. В рассматриваемом примере деепричастие легко заменяется глаголом: ...можно, если вцепиться...

Запятые не нужны. У оборота как в кофейне на первое место выступает значение образа действия, и инфинитив приготовить, к которому относится оборот, не имеет законченного смысла без сравнительного оборота: смысл предложения не в том, что напиток можно легко приготовить, а в том, что легко приготовить можно напиток высокого качества.