Правило допускает все эти формы.
-ТЕ в формах совместного действия присоединяется:
1) у глаголов сов. вида и у глаголов однонаправленного движения к форме 1 л. мн. ч. изъявит. накл.: сыграемте, станемте, пойдемте;
2) у глаголов несов. вида (кроме глаголов однонаправленного движения) к частице давай, соединяющейся с инфинитивом давайте дружить, давайте спать.
При этом частица давай(те) употребляется и при формах совместного действия глаголов сов. вида: давайте подружимся, давайте споем. Получаются дуплеты (сыграемте = давайте сыграем), при этом более употребительны варианты с давай, они активно вытесняют варианты с -ТЕ, поэтому часто кажутся сомнительными с точки зрения нормативности.
Пойдёмте, Семен Семеныч, – продолжала Елена Ивановна, обращаясь исключительно ко мне, – посмотримте лучше обезьян (Ф. Достоевский).
Будемте говорить прямо и откровенно (А. Куприн).
Правильно: семье Гагариных (потому что семья Гагариных принимала активное участие в жизни детского сада).
Нет, такое сочетание нельзя признать корректным.
Тире здесь не к месту, надо поставить двоеточие: Моя семья: секреты счастья.
Интонационное тире возможно. Решение принимает автор текста.
Верно: поздравил все приглашенные семьи.
Верно: (пойдет) на пользу всей семье; в пользу всей семьи.
Оба варианта верны: назвали Валентин и назвали Валентином.
См. ответ на вопрос № 288795.
