Это наречие. Но в русском языке есть большое количество наречий (наречных сочетаний), образованных из предложно-падежных форм существительных, написание которых (слитное либо раздельное) определяется лишь письменной традицией и проверяется по орфографическому словарю. К таким наречиям относится и в придачу. Его написание просто нужно запомнить.

Предлоги о и про синонимичны при указании на лицо, предмет, явление, но различаются стилистически: предлог про вносит разговорный оттенок (см. справочник Д. Э. Розенталя «Управление в русском языке»). Таким образом, стилистически нейтрально: история о... В живой разговорной речи вполне возможно: история про...

Поскольку прилагательное зависит от существительного, оно согласуется с ним в роде, числе и падеже: на 0,3 (чего?) пункта (какого?) процентного. Таким образом, и существительное, и прилагательное при дробном числительном ставится в форме единственного числа родительного падежа: на 0,3 процентного пункта.

В слове тяжёлый уникальный (т. е. встречающийся только в этом слове и однокоренных словах) суффикс -ёл-(-ел-). Написание его с ё(е) можно считать исключением из общего правила о написании о под ударением в суффиксах прилагательных. Таким же исключением является суффикс -ёр-(-ер-): стажёр, дирижёр, ухажёр.

Если причастный оборот стоит после определения-прилагательного и перед определяемым словом (то есть разрывает непосредственную связь прилагательного и существительного), то между определениями ставится запятая. Таким образом, верно: Без чуткого надзора, незаметного руководства и нужного, вовремя данного совета они вряд ли справятся с трудностями.

Обстоятельства, выраженные наречиями (одиночными или в сочетании с зависимыми словами), могут обособляться с целью смыслового выделения или попутного пояснения. Таким образом, автор вправе поставить запятые, если хочет подчеркнуть слово слезно, обратить на него внимание читателя. Если такой задачи нет, запятые не нужны.

Недопустимо слитное или дефисное написание с приставкой или первой частью сложного слова, если вторая часть содержит пробел, то есть представляет собой сочетание слов. В этих случаях слитные или дефисные написания, рекомендуемые основными правилами, должны заменяться раздельными.

Таким образом, верно: пол Нижнего Новгорода.

Приложение – определение, выраженное именем существительным, согласующимся с определяемым словом в падеже (город-крепость, художник-пейзажист). Обособленные приложения – выделенные интонационно и пунктуационно члены предложения, выступающие в функции приложения. (Прославленный разведчик, Травкин остался тем же тихим и скромным юношей. Глашатай лесов – кукушка известила всех о событии.)

Если говорить об орфографически правильном написании, оно было бы таким: ГУ «ВШЭ», Государственный университет «Высшая школа экономики».

Знак дефиса (орфографический) в официальном полном наименовании, конечно же, следовало бы заменить на пунктуационный знак тире. Дефис в аббревиатуре обосновать можно: аббревиатура – это единое слово.