Название движение Сопротивления оказывается исключением из правила о написании названий исторических эпох и событий, календарных периодов и праздников, общественных мероприятий (оно описано в примечании 5). См. также словарную фиксацию. 

В образцовой литературной речи названия городов склоняются в сочетании со словом город: лицей города Лобни. Но в официальных документах название должно указываться в соответствии с тем, как оно зарегистрировано.

Если название указывается с родовым словом (акционерное общество "Национальный негосударственный пенсионный фонд"), то ориентироваться следует на родовое слово общество, например: акционерное общество "Национальный негосударственный пенсионный фонд" заработало за 2015 год...

Традиция часто оказывается сильнее, чем "правильность", когда речь идет о собственных именах. Все (или многие) иностранцы знают, как произносить слово Москва по-русски (с ударением на последнем слоге), но кто так произносит?

Слово "проблемы" может использоваться в разговорной речи в значении "трудности", поэтому оказывается возможным и сочетание "испытывать проблемы". Но оппонент прав в том, что в стилистически нейтральном или научном тексте такое сочетание неуместно.

Форма родительного падежа мн. ч.: граммов и грамм, килограммов и килограмм. Вариант с "нулевым" окончанием – это так называемая счетная форма. Правильно: избавиться от лишних килограммов, но похудеть на пять килограмм и килограммов.

По данным "Википедии", в метеорологии направление ветра указывается от точки, откуда дует ветер, тогда как в аэронавигации — куда дует, таким образом в речи синоптиков ветер южных направлений — это ветер, дующий с юга.

Вероятно, сказывается то, что в языке-источнике (французском) это слово женского рода. В русском же языке существительные женского рода пишутся с мягким знаком после конечного согласного (мышь, ночь); такие слова относятся к третьему склонению.

В данном случае пунктуация зависит от контекста и смысла предложения. Если просто указывается сумма (от 20 тысяч), то запятая не требуется. Если подчеркивается, что 20 тысяч недостаточно, нужно платить больше, то запятая нужна.

Ссылаться нужно не на правило, а на словари. В тех случаях, когда существительные второго склонения имеют в форме именительного падежа множественного числа ударное окончание -А, это обычно указывается в лингвистических словарях. См. здесь.