Фамилии, совпадающие по написанию с нарицательными существительными второго школьного склонения, изменяются по падежам следующим образом: 1) склоняются только мужские фамилии, женские остаются в неизменяемой форме; 2) при склонении мужских фамилии возможно сохранение или выпадение беглой гласной (нет Соловея и нет Соловья), при этом предпочтителен первый вариант (сохранение гласной).
Законы русской грамматики не делают исключений для фамилий, совпадающих в каком-либо из падежей с нарицательными существительными (или словами других частей речи). Мужские фамилии Хан и Шин склонять нужно, соответствующие женские фамилии не склоняются. А фамилия Ху в любом случае не изменяется по падежам, т. к. оканчивается на гласный -у.
Конечно, мягкий знак не нужен. Возможно, редактора сбивает с толку тот факт, что это безличный глагол? Но по отношению к безличным глаголам действуют те же правила: мягкий знак пишется в неопределенной форме, отвечающей на вопрос что делать? (нездоровиться), и не пишется в форме, совпадающей с формой 3-го лица ед. числа: кому-либо нездоровится.
Деепричастие может быть употреблено без пояснения, если контекст ясен и не вызывает двоякого толкования. Однако в Вашем примере два деепричастия различаются синтаксическими особенностями: изучая предполагает беспредложное дополнение, а погружаясь — предложное. Оставить первое деепричастие без дополнения можно лишь в случае совпадающего управления, то есть совпадающих форм зависимых слов; ср.: изучая и глубоко постигая математику.
Называть и соединительной гласной неверно (соединительный гласный передается на письме только буквами о и е). Корректно говорить так: вместо соединительных гласных о и е в некоторых сложных словах пишется и. Это слова с первой частью – числительным (десятилетка, семимесячный, тридцатитомный), а также слова с первой частью, совпадающей с формой повелительного наклонения глагола (сорвиголова, вертихвостка, перекати-поле).
Как свидетельствует современная речевая практика, при употреблении существительных, обозначающих сложные технические устройства, наблюдается варьирование падежных форм (см. ответы на вопросы о словах робот, бот, агент, а также помощник). Интересующие Вас неологизмы в сочетании с переходными глаголами, в предложных конструкциях также могут быть представлены в двух падежных формах — совпадающих с формой именительного или родительного падежа.
Вместо соединительных гласных О и Е в некоторых разрядах сложных слов пишутся гласные, совпадающие с падежными и другими окончаниями слов, основы которых содержатся в предшествующей части слова. Пишется Я в словах с первыми частями себя- (себялюбие, но: себестоимость), имя- (имятворчество), время- (времяпрепровождение, предпочтителен этот вариант, времяпровождение – разговорный), семя- (семядоля). Такое написание необходимо запомнить или првоерять по орфографическому словарю.
Правила таковы. Названия производственных марок технических изделий (машин, приборов и т. п.) заключаются в кавычки и пишутся с прописной буквы, однако названия самих этих изделий (кроме названий, совпадающих с собственными именами – личными и географическими) пишутся в кавычках со строчной буквы. По правилу корректно писать «Метеор» о торговой марке и «метеор» о самом судне.
Корректно использование формы родительного падежа при наличии отрицания: не прошло и двух лет (ср.: прошло два года). Существительное в форме, совпадающей с формой р. п. ед. ч., употребляется при количественном числительном в форме им. п. (а также в. п. в случае с неодушевленными существительными второго склонения). Если же числительное стоит в другой падежной форме, то существительное согласуется с ним во мн. ч.
