Дело не в том, от каких существительных образованы такие прилагательные, а в том, какую роль они играют в тексте. Выделение слов в тексте с помощью прописной буквы используется для противопоставления собственных и нарицательных имен: нарицательные имена пишутся со строчной буквы, собственные – с прописной. Ср., напр.: лев – Лев, невские берега – Александр Невский, красная шапочка – Красная Шапочка (сказочный персонаж), здоровье – журнал «Здоровье».

Слово республика действительно восходит к латинскому языку (от rēs рūbliса, букв. «общественное дело»). Таким образом, буква «с» в этом слове – из латыни, она не была добавлена в русском языке. А вот в западноевропейских языках она и правда пропала: англ. translation>republic, нем. translation>Republik, фр. translation>république, исп. translation>república, итальянцы же «компенсировали» утраченную «с» второй буквой b: translation>repubblica.

По-видимому, «с» утратилась в Средние века в результате фонетических изменений в романских языках. По крайней мере, англичане уже заимствовали это слово из французского языка без буквы «с». Вот цитата из вебстеровского словаря английского языка о происхождении английского слова republic: «French république, from Middle French republique, from Latin respublica».

Корректность двух последних из приведенных Вами примеров (бессоюзного сложного и сложноподчиненного предложений) не вызывает сомнений. Что касается возможности употребления сочетания становится ясно в роли вводного, то она сомнительна. Важным формальным свойством вводных конструкций является отсутствие грамматической  связи с каким-либо членами или частями предложения, из чего следует ещё одно свойство — способность занимать в предложении любую позицию: начальную, срединную, конечную. Сочетание становится ясно едва ли возможно «передвигать» из начальной позиции в какую-то другую, сравним: ^?Чрезмерное потребление, становится ясно, духовно обедняет человека; ^?Чрезмерное потребление духовно обедняет человека, становится ясно. При этом, конечно, ничто не мешает выделить эту конструкцию в срединной позиции как вставку (такое возможно с любой частью предложения): Чрезмерное потребление — становится ясно — духовно обедняет человека.

Разница есть. Приведем фрагмент из учебного пособия Е. И. Литневской «Русский язык: краткий теоретический курс для школьников»:

В неопределённо-личных предложениях... главный член выражается глаголом в форме 3 лица множественного числа (настоящего и будущего времени в изъявительном наклонении и в повелительном наклонении), формой множественного числа прошедшего времени изъявительного наклонения или аналогичной формой условного наклонения глагола. Производитель действия в этих предложениях неизвестен или неважен:

Тебе звонят / звонили / пусть звонят / звонили бы.

Не являются неопределенно-личными такие предложения без подлежащего со сказуемым в указанных формах, в котором производитель действия известен из предыдущего контекста; см., например, второе предложение в следующем контексте:

Мы вышли из лесу и попытались сориентироваться на местности. Потом пошли по тропинке вправо.

Такие предложения являются двусоставными неполными.

Начнем с основы слова философия. Правильнее всего сказать, что основа философиj, ведь буква я обозначает два звука: [ja], из них только второй является окончанием, а первый принадлежит основе. Но упрощенно можно сказать, что основа в этом слове философи- , а окончание – -я.

Что касается корня, то здесь возможны варианты. Можно выделить два корня, как это сделано в словаре Тихонова: мы хорошо знаем о существовании греческих слов phileo 'люблю' и sophia 'мудрость'. Те же греческие корни в словах филология, филофония; теософия, антропософия. Но можно найти аргументы и в пользу выделения корня философ-: в русском языке это слово не было собрано из двух греческих корней, мы получили его в таком виде из немецкого языка, т. е. в русском языке это слово непроизводно.

Слово группа предполагает наличие нескольких элементов. Если элемент (предмет, член) всего один, то лучше использовать другое слово (категория, разряд или другое в зависимости от контекста).

В указанных Вами примерах нет оснований для постановки запятых.

В данном случае уместно тире, т. к. этот случай можно рассматривать как эллиптическое предложение (сложное предложение с пропущенными членами): Один только казак вырвался дорогою из татарских рук – (это был) Максим Голодуха.

В этом случае лучше переставить обстоятельства местами: В доме после ужина появились...

Это предложение полное, другое дело, что сказуемое выражено именным сочетанием (составное именное сказуемое). Ставить тире не нужно, из-за того что между подлежащим и сказуемым располагается обстоятельство "традиционно".