Строчными: день рождения города.
Оба варианта корректны, но слова между собой лишние: Дорога соединяет два города. Два города соединяются дорогой.
Археологический заповедник, названный по географическому объекту, должен сохранить написание исходного названия. Если слово могила (как местный термин) входит в название географического объекта, то оно записывается с прописной буквы (подробнее об этом см. в правилах употребления прописных и строчных букв в географических названиях, § 1). Таким образом, написание названия заповедника с двумя прописными буквами обоснованно.
Первый вариант предпочтителен, второй характерен для бюрократической речи.
Правильно: при штурме Берлина, при штурме города Берлина.
Широко известные склоняемые названия согласуются со словом город: в городе Минске.
О склонении географических названий см. подробно в «Письмовнике».
