Просьба —  многострадальное слово. Чего только стоят объявления в крупных магазинах вроде следующего: «Сотрудника отдела бытовой техники просьба подойти на инфостойку».

И в этом примере, и в примере Просьба перестать ломать ограду наблюдается одно и то же явление: существительное просьба используется вместо глагола (просят, просим) — и, что самое главное, существительному безосновательно придаются синтаксические свойства глагола. Так, в примере из гипермаркета форма В. п. сотрудника объясняется только тем, что подразумевается «просят (просим) сотрудника»: просить кого? что? — стандартное управление глагола просить, но не существительного просьба.

И в вашем примере инфинитивная конструкция перестать ломать примыкает к сущ. просьба так же, как примыкает к глаголу: просим перестать.

Следовательно, в основе конструкции, о которой вы спрашиваете, лежит определенно-личное (просим) или неопределенно-личное (просят) предложение, и сущ. просьба в ней является эквивалентом одной из этих глагольных форм. Поэтому корректно интерпретировать его как главный член односоставного предложения — просто главный член, не подлежащее и не сказуемое. Перестать ломать — дополнение (ср. просить, просьба о чем?), которое не квалифицируется ни как прямое, ни как косвенное, так как падежа у него нет.

Что же касается самого предложения, то ни под один из выделяемых в традиционной грамматике типов оно не подводится. Можно считать его разговорной модификацией (не)определенно-личного предложения.

Здесь действительно нужно поставить закрывающую запятую, только не после причастного оборота, а после определительного придаточного с союзным словом который. Для оптимизации пунктуационного оформления высказывания рекомендуем заключить вставную конструкцию в скобки, а не в двойные тире: ...монастырь, на настоятеля которого он возлагал столько надежд (и небезосновательно, отнюдь не безосновательно!), разграблен и сожжён викингами, настоятель убит.

Возможны варианты написания: Решение суда не обосновано и подлежит отмене (т. е. решение не было обосновано) и Решение суда необоснованно и подлежит отмене (т. е. решение безосновательно).

Правильно: Приставам удалось вычислить место пребывания одного красноярского предпринимателя, который более 100 тысяч рублей задолжал своему контрагенту и ещё 40 тысяч - Пенсионному фонду. "Сомнительная" запятая поставлена безосновательно.