То же самое — составная лексическая единица. Она приведена, в частности, в списке подобных единиц (наряду с один и тот же, тот или иной, до тех пор, к тому же и т. д.) в словарной статье местоимения тот.
Это простое предложение, инфинитив в нем не образует отдельной грамматической основы. Внутри предложения знаки препинания не нужны.
Запятую можно ставить или не ставить, поскольку определения старый и больной, характеризующие предмет с разных сторон (то есть в целом неоднородные), могут быть восприняты как однородные из-за сходства производимого ими впечатления.
В предложении ...ручей под этим тончайшим льдом гонит огромное стадо пузырей (4) и выгоняет их из-подо льда на открытую воду (5) и мчит их с большой быстротой (6)... запятыми разделены однородные сказуемые: (ручей) гонит, и выгоняет, и мчит.
Если число однородных членов предложения больше двух, а союз повторяется перед каждым из них, кроме первого, то запятая ставится между ними всеми: Листья в поле пожелтели, и кружатся, и летят.
Двоеточие не нужно, так как часть «Сколько родных стоит за мною?» является несогласованным приложением, а вот точка в конце предложения необходима.
То или иное слово вносят в словарь лексикографы, когда сочтут, что оно уже стало фактом общеупотребительного языка. Пока что котость воспринимается как рождённый интернетом неологизм, о котором нельзя сказать, укрепится ли он в языке надолго.