У Нью-Йорка есть прозвище – "Большое яблоко". Словарной фиксации этого выражения нет. По общему правилу в образных названиях государств и городов с прописной буквы пишется первое слово (которое может быть единственным), а также (если они есть) собственные имена. Поэтому корректно: "Большое яблоко" или Город большого яблока (ср. с другим известным названием Нью-Йорка – Город желтого дьявола). Интересна история возникновения этого ...

...Город большого яблока...

...У Нью-Йорка есть прозвище – "Большое яблоко...

Ганнибал у ворот (устар. книжн.) – о близкой и грозной опасности. Выражение – полукалька с лат. Hannibal ad portas. Выражение принадлежит древнеримскому оратору Цицерону. Он употребил его в одной из своих речей против Марка Антония, шедшего на Рим для захвата власти. Этим выражением Цицерон напомнил римскому сенату о великом карфагенском полководце, чьё имя приводило в ужас римских граждан. С тех пор оно служит напоминанием о смертельной опасности.

...Ганнибал у ворот ...

...Ганнибал у ворот (устар. книжн.) – о близкой...

Как об стенку (стену) горох (неодобр.) – ничего не действует на кого-либо; бесполезно говорить, советовать что-либо кому-либо. В. И. Даль в «Толковом словаре живого великорусского языка» приводит такое определение этого оборота: «не льнет». В народе можно услышать: Ему говорить, что в стену горох лепить или как к стене горох.

...Как об стенку горох...

...Как об стенку (стену) горох (неодобр.) –...