стиль модерн, стиля модерн
Ответы справочной службы
Постановку тире можно объяснить тем, что первая часть предложения образована именительным темы. Обратите внимание, что пояснительный оборот требует обособления запятыми: Стиль модерн, или новый стиль, — так чаще всего называли в России направление в искусстве.
Правильно: стиль барокко, стиль модерн. Без родового названия модерн склоняется: архитектура модерна.
Стиль милитари по аналогии можно писать без кавычек.