Такие предложения допускают двоякую трактовку.

Первая: занятие — подлежащее, рыбачить — сказуемое. Такое чтение опирается на порядок слов, который отражает смысловое развертывание (тема воспринимается как подлежащее, рема — как сказуемое).

Вторая: противоположная. Дело в том, что грамматическим признаком именного сказуемого является его способность принимать форму не только именительного, но и творительного падежа. Именно эту способность демонстрирует занятие: Моим любимым занятием было рыбачить по утрам.

Тот факт, что в теме предложения при этом оказывается не подлежащее, а сказуемое, нисколько не противоречит всему, что мы знаем об актуальном членении предложения: в теме может оказаться что угодно.

Первую, преимущественно коммуникативную, трактовку можно рекомендовать для знакомства с предложением на элементарном уровне; вторую же, преимущественно грамматическую, — для тех, кому не лень разбираться в тонкостях.

Рыбачить на озере, на реке; ловить рыбу в озере, в реке.

Грамматически верны оба варианта: я рыбачу (от рыбачить) и я рыбалю (от рыбалить). Но они различаются стилистически: рыбачить – общеупотребительный и стилистически нейтральный глагол, рыбалить – просторечный.

Правильно: они рыбачАт.