подлётывать, -аю, -ает
ПОДЛАТЫВАТЬ, подлатываю, подлатывает \\ подлат[ə]вать и допуст. подлат[ы]вать; в формах с сочетанием ющ: подлатывающий... – подлатыва[йу]щий и подлатыва[и]щий.
Ответы справочной службы
Верно: Подкладывать дрова в костер.
Ставятся оба знака (каждый на своем основании).