Словари
жар-пти́ца, -ы, тв. -ей
ЖАР-ПТИ́ЦА, жар-пти́цы, мн. жар-пти́цы, жар-пти́цам \\ ж[а]р-пти́ца; жар-[п]ти́ца.
Ответы справочной службы
Ответом на Ваш вопрос будет выдержка из статьи о прописных и строчных буквах в личных именах:
«Сочетание нарицательного существительного с одиночным приложением может быть осмыслено пишущим:
а) как обычное сочетание нарицательного существительного с приложением, напр.: конёк-горбунок, жар-птица, огонь-девица, сивка-бурка, человек-невидимка, баба-яга, муха-цокотуха, кот-баюн, крошка-енот;
б) как сочетание родового имени, приложения с именем собственным, напр.: кот Баюн, баба Яга («Отчего так не любят Ягу» Б. Заходер), муха Цокотуха, крошка Енот;
в) как сочетание имени собственного с приложением — тогда с прописной буквы пишется только первое слово, напр.: Царь-девица, Царь-освободитель, Человек-паук, Человек-невидимка, Жар-птица, Баба-яга, Кот-баюн — здесь именем является только первое слово, как Маша в сочетании Маша-растеряша. Такой выбор написания возможен для авторских текстов, текстов, не связанных с традицией обозначения героя;
г) как единое сложное имя собственное, но при этом ни один из его компонентов не теряет связи со своим номинативным значением — тогда все слова пишутся с прописной, напр.: Человек-Муравей, Женщина-Невидимка, Дед Мороз (ср.: дед Мазай — здесь имя только Мазай), Баба-Яга («Будто я // Злая Баба-Яга» Б. Заходер), Кот Баюн. Последний тип написаний распространен в современном письме, но часто такое осмысление не поддерживается текстом». (Полный текст статьи можно прочитать здесь.)
Таким образом, одно сочетание может быть осмыслено по-разному и по-разному записано. В некоторых случаях для выбора написания значим контекст. Решение о написании принимает автор. Имена известных персонажей фиксируются в словарях.
Есть две версии происхождения слова радуга: 1) переоформление слова райдуга, которое является сложением слов рай и дуга (ср. жар-птица); в таком случае радуга буквально 'пестрая дуга' (ср. диал. раек 'радужная оболочка глаза'); 2) производное от основы рад-.
Притяжательное прилагательное от Жар-птица – жар-птицын. Правильно: жар-птицыно перо.
Среди приведенных примеров - ни одной первой части сложного слова с конечным -О и -Е (речь не о соединительной гласной, а о гласной в составе основы слова).
В русском языке сложилась устойчивая традиция писать первые части сложных слов, оканчивающиеся на -О и -Е, слитно с последующей частью слова: радиотелефон, киноаппарат, фотокамера, видеопроектор, телеведущий и т. д. Поэтому слитное написание еврозона ни в коей мере не является исключением, оно вполне логично вписывается в современные нормы правописания.
Первую часть сложных слов евро... в русском языке принято писать слитно с последующей частью слова. Написание проверяется в словарном порядке.
2. Не всегда. Дефис может как соединять части одного слова (светло-зеленый, ва-банк, жар-птица), так и соединять части словосочетания (писатель-фантаст, два-три, хитрый-прехитрый).
Справочники
Вводные замечания Основной принцип слитного и раздельного написания — выделение на письме слов. Части слов пишутся слитно, слова разделяются пробелами. Применение этого правила затрудняется тем, что в языке не всегда четко противопоставлены сочетания слов и целостные слова (например, сочетания с частицей не и слова с приставкой не-сочетания существительных с предлогами и наречия, образовавшиеся из таких сочетаний). Существует третий тип написаний — дефисные, или полуслитные.
...Дефис может разделять слово на части (например, жар-птица...
§ 119. Следующие разряды существительных пишутся слитно. Существительные, слитное написание которых определяется общими правилами: слова с приставками и начальными частями типа лже-, полу-, само- (см. § 117, п. 1), сложные слова с первой частью, совпадающей с формой числительного (см. § 117, п. 2), сложные слова с начальными частями типа авто-, авиа- (см. § 117, п. 3), сложные слова с первой частью, оканчивающейся на -я (см. § 117, п. 4), напр.
...генерал-майор, джаз-оркестр, дизель-мотор, допинг-контроль, жар-птица...
§ 78. Пишутся слитно: 1. Сложные имена существительные, образованные при помощи соединительных гласных, а также все образования с аэро-, авиа-, авто-, мото-, вело-, кино-, фото-, стерео-, метео-, электро-, гидро-, агро-, зоо-, био-, микро-, макро-, нео-, например:
...гласных о и е, например: а) жар-птица...
