Правильно: в мэрии города Москвы. Географическое название, употребленное с родовыми наименованиями город, село, деревня, хутор, река и др., выступающее в функции приложения, согласуется с определяемым словом, то есть склоняется, если топоним русского, славянского происхождения или представляет собой давно заимствованное и освоенное наименование.

Правильно: из города Москвы. См. «горячий вопрос» номер три.

Ничего не изменилось. Верно: из города Москвы, Саратова, Тюмени. Подробнее см. в "Горячих вопросах".

Верно: Я из города Москвы.

В живой речи слово город здесь лишнее: Я из Москвы. Если слово город употребляется, название согласуется с ним, т. е. склоняется: из города Москвы.

Правильно: Мы прибываем в аэропорт Внуково города Москвы.

Лучше всего написать: мэру Москвы. В канцелярской речи: мэру города Москвы.

См.  "Письмовник".

Лучше всего: в промышленном районе Москвы. Употребление слова город – признак официально-деловой речи. Подробнее см. в «Горячей десятке вопросов».

Обратите внимание на строчную букву в слове промышленный. Названия районов пишутся с прописной как административно-территориальные единицы (например, Одинцовский район). Поскольку в Москве нет такой административно-территориальной единицы, как Промышленный район, верно написание со строчной.

Правильно склонять. Подробнее см. в "Письмовнике".