На наш взгляд, корректно: ветеринар-дерматолог (ср.: врач-дерматолог, врач-терапевт и т. п.).

Если мы верно поняли Ваш вопрос, то в таких случаях следует использовать тире: благо  — абсолютный заменитель. 

Перед именем собственным после ряда однородных определений запятая не нужна.

Поскольку определение участковый ("обслуживающий какой-л. участок") относится к обоим словам врач-терапевт, верно: участковый врач-терапевт.

Следует писать с дефисом без пробелов.

Написание зависит от того, относится ли слово цеховой к существительному врач или к словосочетанию врач-терапевт. В первом случае используется тире, во втором - дефис.

Правило таково: в сочетаниях с приложением, если одна из частей в свою очередь является сочетанием с приложением и содержит дефис, употребляется тире.

Правильно: врач-хирург, врач-терапевт, врач-стоматолог, врач-ортопед и т. д. (сочетания с приложением). Если же вторая часть (обозначение специализации врача) в свою очередь является сочетанием с приложением и содержит дефис, то перед ней употребляется тире: врач – стоматолог-ортопед, врач – акушер-гинеколог. Аналогично: женщина-врач, но женщина – врач-хирург.

Правильно: по-нью-йоркски (ср.: по-социал-демократически, по-жюль-верновски).

Корректно: врач-терапевт, терапевт.

Такие сочетания пишутся через дефис (как сочетания с приложением): врач-терапевт, врач-стоматолог, врач-ортопед и т. д. Если же вторая часть (обозначение специализации врача) в свою очередь является сочетанием с приложением и содержит дефис, то после слова врач употребляется тире: врач – стоматолог-ортопед, врач – акушер-гинеколог.

Оба варианта возможны.