Корректно: врач-стоматолог детский; врач -- детский стоматолог.

В сочетаниях с приложением, если одна из частей в свою очередь является сочетанием с приложением и содержит дефис, употребляется тире: врач – стоматолог-ортопед (ср.: врач-стоматолог, врач-ортопед). Ответ на вопрос № 241277 исправлен.

Правило таково: в сочетаниях с приложением, если одна из частей в свою очередь является сочетанием с приложением и содержит дефис, употребляется тире.

Правильно: врач-хирург, врач-терапевт, врач-стоматолог, врач-ортопед и т. д. (сочетания с приложением). Если же вторая часть (обозначение специализации врача) в свою очередь является сочетанием с приложением и содержит дефис, то перед ней употребляется тире: врач – стоматолог-ортопед, врач – акушер-гинеколог. Аналогично: женщина-врач, но женщина – врач-хирург.

Правильно: по-нью-йоркски (ср.: по-социал-демократически, по-жюль-верновски).