ба́бье ле́то, ба́бьего ле́та
БАБЬЁ, бабья́ \\ ба[б’j]ё и ба[бj]ё.
Ответы справочной службы
Если названия совпадают по форме с притяжательными прилагательными, то они склоняются как притяжательные прилагательные: жители Щучьего и Лебяжьего. В ответе на вопрос № 228862 ошибка, исправили.
Нет, кавычки не нужны.
Справочники
Бабье лето – ясные теплые дни в начале осени. Существует несколько версий этимологии сочетания. По одной из них, выражение связано с тем периодом в жизни крестьян (начало осени), когда заканчивались полевые работы и женщины принимались за домашние дела: мочили лен, трепали его, ткали. По другой версии, сочетания бабье лето, бабьи дни, бабьи холода в старину имели смысл, основанный на суеверии: женщины обладают силой возвращать назад времена года и вообще влиять ...
...Бабье лето – ясные теплые дни в начале...
...По другой версии, сочетания бабье лето, бабьи...
Журнал
Пушкин — наше всё, солнце русской поэзии и символ русской культуры, создатель современного русского литературного языка… Но в чем именно состояла его роль? Что он изменил в языке, что привнес нового, а что отверг, как повлиял на литературные вкусы и языковые нормы, что думал о заимствованиях и просторечии? Пушкинский день располагает к тому, чтобы подумать об этом.
...Пушкин — наше всё, солнце русской поэзии и символ...
...классицизма и с выражениями живой разговорной речи: Парки бабье...