Да, это склоняемая фамилия. Все фамилии, оканчивающиеся на сочетание «согласный + а» (кроме французских фамилий на ударный -а, типа Дюма), склоняются.

Рассказ Л. Н. Толстого — единственный известный нам письменный источник, в котором упомянуто слово беспоставочная. В толковом словаре В. И. Даля находим слово постановный: «постановный человек, сев. степенный, разумный, рассудительный, воздержный, скромный, умеренный, установившийся во всем, человек с правилами». Предполагаем, что слово беспоставочная характеризует человека совершенно противоположным образом.

Прилагательное беспутый зафиксировано в "Словаре русских народных говоров" в следующих значениях:

1. Бестолковый, глупый. 
2. Беспутный. * Непутевый, никудышный. * Безнравственный. * Беспорядочный. 
3. Бранно. Поступающий против совести.