У Нью-Йорка есть прозвище – "Большое яблоко". Словарной фиксации этого выражения нет. По общему правилу в образных названиях государств и городов с прописной буквы пишется первое слово (которое может быть единственным), а также (если они есть) собственные имена. Поэтому корректно: "Большое яблоко" или Город большого яблока (ср. с другим известным названием Нью-Йорка – Город желтого дьявола). Интересна история возникновения этого ...

...Город большого яблока...

...У Нью-Йорка есть прозвище – "Большое яблоко...

В "Словаре современных понятий и терминов" под ред. Н. Т. Бунимович, Г. Г. Жарковой (М., 2002) зафиксированы следующие значения значения этого слова. Дерби – 1) соревнование, бег, гонка; 2) ипподромные состязания для 3-4-летних лошадей (от редакции – для четырехлетних лошадей на дистанции 1600 м, для трехлетних скаковых лошадей на дистанции 2400 м); 3) (переносное значение) напряженная борьба за победу в выборной кампании; 4) состязание, игра команд одного города ...

...Дерби...

...В "Словаре современных понятий и терминов"...